高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式练习

课时分层作业(四十五)　两角差的余弦公式

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝(　　)

A.　　　　　 B.

C.   D．－

B　[cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.]

2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　)

A．α＝，β＝ B．α＝，β＝

C．α＝，β＝   D．α＝，β＝

B　[由已知得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，检验知选B.]

3．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[因为sin α＝，α是第二象限角，

所以cos α＝－，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.]

4．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于(　　)

A.   B.

C．－   D.

A　[由题意可得sin α＝，cos α＝，

cos＝coscos α＋sinsin α

＝×＋×＝.]

5．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[∵θ∈，

∴θ＋∈，∴sin

＝＝.

cos θ＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝.]

二、填空题

6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝________.

cos(α＋γ－2β)　[原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)

＝cos(α－β)cos(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ)

＝cos[(α－β)－(β－γ)]＝cos(α＋γ－2β)．]

7．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝________.

－　[因为cos B＝－，且0<B<π，

所以<B<π，

所以sin B＝＝＝，且0<A<，

所以cos A＝＝＝，

所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B，

＝×＋×＝－.]

8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.

－　[因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，

所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α，

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝－cos2α＋sin2α

＝－(1－sin2α)＋sin2α

＝2sin2α－1

＝2×2－1＝－.]

三、解答题

9．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos β的值．

[解]　∵α，β∈，

∴α＋β∈(0，π)，

又cos α＝，cos(α＋β)＝－，

∴sin α＝＝，

sin(α＋β)＝＝.

又β＝(α＋β)－α，

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝×＋×＝.

10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．

[解]　∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，

∴sin(α－β)＝.∵<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，

∴cos(α＋β)＝，

∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－1.

∵<α－β<π，<α＋β<2π，

∴<2β<，2β＝π，∴β＝.

[等级过关练]

1．已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　)

A．－   B．±

C．－1   D．±1

C　[cos x＋cos

＝cos x＋cos x＋sin x

＝cos x＋sin x

＝

＝cos＝×＝－1.]

2.的值是(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[原式＝

＝

＝＝＝.]

3．若cos αcos β－sin αsin β＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝________.

　[∵cos αcosβ＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，

cos αcos β－sin αsin β＝，

解得cos αcos β＝，sin αsin β＝，

∴tan αtan β＝＝＝.]

4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，则α＋β的值为________．

　[sin(α－β)＝－，sin 2α＝，

∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]

＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)

＝×＋×＝－，

∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]

5．已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，

sin＝，求sin(α＋β)的值．

[解]　∵＜α＜，∴－＜－α＜0.

∴sin＝－＝－.

又∵0＜β＜，∴＜＋β＜π，

∴cos＝－＝－，

sin(α＋β)＝－cos

＝－cos

＝－coscos－sinsin

＝－×－×＝.