人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式巩固练习

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课时分层作业(四十八)　二倍角的正弦、余弦、正切公式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.的值是(　　)A.　　　　 B．－C.   D．－A　[原式＝＝＝＝.]2．若sin＝，cos＝－，则角α是(　　)A．第一象限的角   B．第二象限的角C．第三象限的角   D．第四象限的角C　[∵sin α＝2sincos＝2××＜0，cos α＝cos2－sin2＝2－2＜0，∴α是第三象限的角．]3．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)A．－   B．－C.   D.A　[∵sin α－cos α＝，∴1－2sin αcos α＝，即1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.]4．若＝，则tan 2α＝(　　)A．－　　B.    C．－　　D.B　[因为＝，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝＝＝.]5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)A.   B.C．－   D．－A　[设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝，∴cos θ＝＝，∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.]二、填空题6．已知sin 2α＝，则cos2＝________.　[cos2＝＝＝＝.]7．已知tan α＝－，则＝________.－　[＝＝＝tan α－＝－.]8．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.－　[∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝－，∴tan α＝－或tan α＝2.∵α在第二象限，∴tan α＝－.]三、解答题9．求证：＝tan.[证明]　＝＝＝tan.10．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．[解]　∵cos x＝，x∈，∴sin x＝－＝－，∴sin 2x＝2sin xcos x＝－，∴cos＋sin2x＝＋＝－sin 2x＝－×＝.[等级过关练]1．已知sin＝，则cos的值等于(　　)A.   B.C．－   D．－C　[因为cos＝sin＝sin＝，所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.]2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为(　　)A.   B.C.   D．πD　[由题意得①2＋②2得cos β＝，cos α＝，由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，∴tan β＝2，tan α＝，∴tan 2β＝－，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，∴α＋2β＝π.故选D.]3．化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝________.－1　[原式＝·cos 10°·＝·cos 10°·＝·cos 10°·＝－·＝－1.]4．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝________.　[由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0，∴2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，∴2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵α为锐角，∴cos2α≠0，sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝，∴α＝.]5．已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)．(1)求tan 2α的值；(2)求2sin2－sin.[解]　(1)由sin α＋cos α＝，得sin αcos α＝－，因为α∈(0，π)，所以α∈，所以sin α－cos α＝＝，解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－，所以tan 2α＝＝.(2)2sin2－sin＝1－cos－sin＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α＝1－cos α＝.