高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义教学设计

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前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.

复习引入

讲授新课

平均变化率

函数y=f(x)，从到的平均变化率：

（1）自变量的改变量：

（2）函数值的改变量：

（3）平均变化率

注：对 的理解

1． 是一个整体符号，不是与x，y相乘.

2． 是定义域内不同的两点，因此，但 可正、可负；

是函数值的改变量，可正、可负，也可为0，

因此平均变化率可正、可负，也可为零

函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化

瞬时变化率

函数f(x)在 处的瞬时变化率是函数f(x)从到的平均变化率在时的极限，即

导数的概念

①定义：如果当 时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为瞬时变化率），

记作 或 ，即

②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．（瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数）

相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

注意 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

③函数f(x)的导函数：

称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．

导数概念的理解

(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在处及其附近的函数值有关，与无关．

(2) 是一个常数，即当时，存在一个常数与 无限接近．

由导数的定义可知，

问题1中运动员在t=1时的瞬时速度v(1)，就是函数 在t=1处的导数；

问题2中抛物线 在点处的切线的斜率，就是函数 在x=1处的导数.

实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率，国内生产总值（GDP）的增长率等.

例1 设 ，求.

解：

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第x h时，原油的温度（单位：）为 . 计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 .

根据导数的定义，

     ,

所以

.

 同理可得

在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为 . 说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以的速率上升.

一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况.

例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为 ，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.

分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为 .

解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为 .

根据导数的定义，

,

所以

同理可得

在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别 . 说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s .

思考

观察函数 y=f (x)的图象（图5.1-3），

平均变化率

表示什么？瞬时变化率

表示什么？

提示：平均变化率

表示割线的斜率.

如图5.1-4，

在曲线 y=f (x)上任取一点 P (x , f (x))，

如果当点 P (x , f (x))沿曲线 y=f (x)无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线 y=f (x)在点处的切线.

易知，割线的斜率

记，当点P沿着曲线 y=f (x)无限趋近于点时，即当时，k无限趋近于函数 y=f (x)在 处的导数.

因此，函数 y=f (x)在 处的导数（即瞬时变化率），就是切线的斜率，

即

这也导数的几何意义.

继续观察图5.1-4，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线. 进一步地，利用信息技术工具将点附近的曲线不断放大（如图5.1-5），可以发现点附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点附近，曲线 y=f (x)可以用点处的切线近似代替.

例4 图5.1-6

是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数

的图象.

根据图象，请描述、比较曲线h(t)在

附近的变化情况.

解： 我们用曲线 h(t)在处的切线的斜率，刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.

（1） 当时，曲线 h(t)在处的切线平行于t轴，. 这时，在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降.

（2）当时，曲线 h(t)在处的切线的斜率. 这时，在 附近曲线下降，即函数 h(t)在附近单调递减.

（3）当时，曲线 h(t)在处的切线的斜率. 这时，在附近曲线下降，即函数 h(t)在附近也单调递减.

从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线 h(t)在附近比在附近下降得缓慢.

例5  图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2,  0.4,  0.6,  0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确度0.1）.

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.

如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率

 所以

表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.

从求函数y=f(x)在 处导数的过程可以看到，当 ，是一个唯一确定的数.

这样，当x变化时， 就是x的函数，我们称它为 y=f(x)的导函数（简称导数）. y=f(x)的导函数有时也记作，即

 .

课堂练习：

1根据导数的定义求下列函数的导数．

(1)求函数 在x＝1处的导数；

(2)求函数在 处的导数．

解：(1)

∴

∴

 (2)

∴

∴  

求函数y＝f(x)在点处的导数的三个步骤

2  已知函数f(x)在 处导数的4，则

.

解：

答案：12

注：

（1）本题中x的增量是，即，而分母为，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．

（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．

3 长方形的周长为10，一边长为x.其面积为S.

（1） 写出S与x之间的函数关系；

（2） 当x从1增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？解释它的实际意义；

（3）当长从x增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？

（4）在x=1处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义；

（5）在x处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义.

   解：

  （1）长方形的周长为10，一边长为x，则另一边为 5-x，

所以

（2）

∴

 答：面积S改变了:

此时，面积S关于x的平均变化率是3，它的实际意义：在x=1处，长度改变1个单位，面积改变3个单位；

（3）

 ∴

答：面积S改变了:

此时，面积S关于x的平均变化率是-2x+5.

（4）由（2）知，当时，，即瞬时变化率为3，实际意义是在x=1时，面积的增加速度为3.

（5）由（3）知，当时，，即瞬时变化率为-2x+5，实际意义是在x 时，面积的增加速度为-2x+5.

4 一质点的运动方程为 （位移单位：m；时间单位：s），试求该质点在t=3时的瞬时速度.

    解：

∴ 该质点在t=3时的瞬时速度为：

所以该质点在t=3时的瞬时速度为6m/s.

根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度和求已知曲线的切线这两类问题直接促使了导数的产生

请学生自己完成具体运算过程

此处切线的定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？

利用信息技术工具，演示图5.1-4中的动态变化效果，做一做，看一看！

数学上常用简单的对象刻画复杂的对象.例如，用有理数3.1416近似代替无理数.这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲.

通过对上节两个知识的回顾，引导学生抽象出导数的概念。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。

通过对上节课问题的再思考和分析，进一步理解导数的意义。。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。

课堂小结

1平均变化率

2瞬时变化率

3导数的概念

4 求函数y＝f(x)在点处的导数的三个步骤

板书

1平均变化率

2瞬时变化率

3导数的概念

4例题讲解

5课堂练习

6求函数y＝f(x)在点处的导数的三个步骤

教学反思