人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义教案设计

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在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.

复习引入

 通过对函数学习的回顾，让学生了解事物变化的快慢，感受不同函数变化快慢的问题，引出课题。

讲授新课

变化率问题

问题1  高台跳水运动员的速度

探究

在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系

.

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

显然，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快. 把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.

例如，在这段时间里，

在这段时间里，

一般地，在这段时间里，

思考

计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

提示：

所以，在 时间里，平均速度为0.

显然，这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

探究

瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1 s 时的瞬时速度吗？

设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是， 如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.

为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在 t=1之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.

当时，在1之后；当时，在1之前.

当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）

观察

给出更多的值，利用计算机工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？

我们发现，当无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于-5.

事实上，由

可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于-5.这与前面得到的结论一致.

把-5叫做“当无限趋近于0时，的极限”记为

从物理的角度看，

当 时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度.因此，运动员在t=1时的瞬时速度v(1)=-5 m/s .

思考

（1）求运动员在t=2 s时的瞬时速度；

（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？

 提示：

（1）

（2）

问题2 抛物线的切线的斜率

如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究.

探究

如何定义抛物线 在点处的切线？

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线 在点处的切线，通常在点的附近任取一点，考察抛物线 的割线的变化情况.

观察

如图5.1-1，当点沿着抛物线 趋近于点时，割线有什么变化趋势？

当点P无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线 在点处的切线.

探究

我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线 在点处的切线的斜率呢？

从上述切线的定义可见，抛物线 在处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.

记，则点P的坐标是. 于是，割线的斜率

我们可以用割线的斜率k近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格（5.1-2）.

观察

利用计算工具计算更多割线的斜率k的值，当无限趋近于0时，割线的斜率k有什么变化趋势？

我们发现，当无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率k都无限趋近于2.

事实上，由
 

可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2. 我们把2叫做“当无限趋近于0时， 的极限”，记为

从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线. 这时，割线的斜率k无限趋近于点处的切线的斜率. 因此，切线的斜率.

思考

观察问题1中的函数 的图形（图5.1-2），平均速度

的几何意义是什么？瞬时速度v(1)呢？

提示：

平均速度

的几何意义是：表示过曲线 上两点（1，h(1)）、 连线的斜率.

瞬时速度v(1)的几何意义是：

表示运动员在1s时速度向下，为5 m/s .

课堂练习

1 平均变化率也可以用式子表示，其中  的意义是什么？有什么几何意义？

解：

 是相对于的一个增量，且 值可正可负，但不能为零.

观察图象，可以看出，表示曲线y= f(x)上两点 、 连线的斜率

2 已知函数，求 f(x)

  （1）从0.1到0.2的平均变化率；

  （2）在区间上的平均变化率.

解：

（1）

∴

（2） 因为函数

     所以函数 f(x)在区间上的平均变化率为：

3 某河流在一段时间x min内流过的水量为y ，y是x的函数， .

问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

解：

当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是

它表示时间从1min增加到8min的过程中，每增加1min，水流量平均增加 .

4 求函数 在x=1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？

解：

函数 在x=1附近的平均变化率为

函数 在x=2附近的平均变化率为

函数 在x=3附近的平均变化率为

对任意的，都有

所以在x=3附近的平均变化率最大.

利用信息技术工具，演示图5.1-1中

的动态变化趋势

可以是正值，也可以是负值，但不为0.

从学生熟悉的“高台跳水”的生活实例入手，分析、归纳、总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。

通过物体运动问题，抽象出函数平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养。

通过实例，让学生经历由割线的斜率到切线的斜率的过程，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养。

课堂小结

1

2 函数的变化率

板书

1平均变化率

2瞬时变化率

3课堂练习 

教学反思