高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算教学设计

导入新课

思考

如何求函数 的导数呢？

问题引入

开门见山，

提出问题

讲授新课

函数 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.

若设，则 .

从而 可以看成是由 和 经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u 表示为自变量x的函数.

如果把y与u的关系记作y=f(u)，u和x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为

一般地，对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作 .

我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.

例如，函数由 和 复合而成. 又如，函数 由 和 复合而成.

如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 的导数.

一个合理的猜想是，函数 的导数一定与函数 ，的导数有关.

下面我们就来研究这种关系.

以表示y对x的导数，以表示y对u的导数，以表示u对x的导数.一方面，

另一方面，

，

可以发现，

.

一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 ，它的导数与函数 y=f(u) ，u=g(x)的导数间的关系为

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

例6  求下列函数的导数：

（1）

（2）  

（3）

解：

（1）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有

（2）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有

（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有

例7  某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式

. 求函数y在t=3 s 时的导数，并解释它的实际意义.

解：函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有

当t=3 时，

它表示当t=3 s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s .

课堂练习：

1写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则求出函数的导数：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：

（1）函数 的中间变量为

. 则函数的导数为，

（2）函数 的中间变量为

. 则函数的导数为，

（3）

函数的中间变量为

. 则函数的导数为，

（4）

函数的中间变量为

. 则函数的导数为，

（5）

函数的中间变量为

. 则函数的导数为，

（6）

   函数 的中间变量为

，所以

则函数的导数为，

2 已知函数 ，若，则___1

  解：

  则 ，则 .

3 设函数f(x)的导函数是，若

，则 __.

  解：

  则  

   ∴

   ∴

   ∴

  ∴   .

4 已知函数 为可导的偶函数，

（c为常数），若，则__.-2

  解：

∵  ， 为可导的偶函数，

∴  ，

∴

∵

∴

∴

开门见山，提出问题，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。

通过对复合函数的概念及求导法则的学习，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。

例题巩固

练习巩固

课堂小结

1复合函数

一般地，对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作 .

2复合函数的求导法则

一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 ，它的导数与函数 y=f(u) ，u=g(x)的导数间的关系为

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

3 例题讲解

4 课堂练习

板书

1复合函数

2复合函数的求导法则

3 例题讲解

4 课堂练习

教学反思