(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第15讲《利用几何性质解决解析几何问题》（2份打包，解析版+原卷版）

第15讲 利用几何性质解决解析几何问题

1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，设直线，延长交直线于点，线段的中点为，求证：点关于直线的对称点在直线上．

【解析】解：（1）椭圆的，，，

则；

（2）时，椭圆方程为，，，

设直线的方程为，令，可得，即，

由为的中点，可得，又，可得直线的斜率为，

由可得，

即有，由，可得，

即，，

直线的斜率为，

而直线的斜率为，设，可得，

即，则点关于直线的对称点在直线上．

2．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．

【解析】解法一：由抛物线定义可得：，解得．

抛物线的方程为；

证明：点在抛物线上，

，解得，不妨取，，

直线的方程：，

联立，化为，解得或，．

又，．，

，

，轴平分，

因此点到直线，的距离相等，

以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．

解法二：同解法一．

证明：点在抛物线上，，解得，不妨取，，

直线的方程：，

联立，化为，解得或，．

又，可得直线，的方程分别为：，，

点到直线的距离，

同理可得点到直线的距离．

因此以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．

3．已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切．

（1）若在直线上，求的半径；

（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．

【解析】解：（1）因为过点，，

所以圆心在的垂直平分线上．

由已知在直线上，且，关于坐标原点对称，

所以在直线上，

故可设．

因为与直线相切，所以的半径为．

由已知得，又，故可得，

解得或．

故的半径或．

（2）存在定点，使得为定值．

理由如下：设，由已知得的半径为，．

由于，故可得，化简得的轨迹方程为．

因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以．

因为，所以存在满足条件的定点．

4．已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，不同的两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当与垂直时，求的长；

（Ⅲ）若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点．

【解析】解：（Ⅰ）因为，所以

因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，

所以，又，所以，

所以椭圆方程为

（Ⅱ）设，，

因为与垂直，所以点在以为直径的圆上，

又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为

，，（舍

所以

（Ⅲ）直线恒过定点

设，，，，

由题意，设直线的方程为，

由得，

显然，△，则，，

因为直线与平行，所以，

则的直线方程为，

令，则，即，，

直线的方程为，

令，得

因为，故，

所以直线恒过定点．

5．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线和分别与直线交于点，，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】解：（Ⅰ）因为点与关于原点对称，所以点得坐标为．

设点的坐标为

化简得．

故动点轨迹方程为

（Ⅱ）解：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为，

则．

因为，

所以

所以

即，解得

因为，所以

故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为．

6．如图，已知椭圆左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点．

（1）若，求椭圆的离心率；

（2）若，求直线的斜率．

【解析】解：（1）因为，所以，

所以，则，

所以椭圆的离心率为；

（2）设直线的方程为，，

则点到直线的距离为，

点到直线的距离为，

因为，所以，

所以或，

则或（舍去），即，

因为，，所以，

所以直线的斜率为．

7．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，．过作轴的垂线，在轴的上方，与圆交于点，与椭圆交于点．连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结．已知．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点的坐标．

【解析】解：（1）如图，，，

，，则，

，则，

，，则椭圆方程为，

取，得，则．

又，，解得．

椭圆的标准方程为；

（2）由（1）知，，，

，则，

联立，得．

解得或（舍．

．

即点的坐标为．

8．如图，已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，延长交抛物线于点，证明：为角的角平分线．

【解析】（1）解：由抛物线定义可得：，解得．

抛物线的方程为；

（2）证明：点在抛物线上，

，解得，不妨取，，，

直线的方程：，

联立，化为，解得或，，．

又，，，

，

，轴平分，即为角的角平分线．