(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第17讲《零点问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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第17讲 零点问题
高考预测一：三次函数零点问题
1．已知函数
（1）若函数在处取得极值2，求，的值；
（2）求试讨论的单调性；
（3）若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值．
【解析】解：（1），，
若函数在处取得极值2，
则，解得：；
（2），
时，令，解得：或，
在递增，在，递减，在递增，
时，，在递增，
时，令，解得：或，
在递增，在递减，在，递增；
（3）由（2）得：函数有2个极值，
分别是：，，
则函数有3个零点等价于，
或，
又，时，或时，，
设（a），
函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，
上，（a），在，，上，（a）均恒成立，
从而，且，故；
此时，，
有3个零点，则有2个异于的不等实根，
△，
且，
解得：，
综上：．
2．已知函数．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线，
（2）用，表示，中的最大值，设函数，，当时，讨论零点的个数．
【解析】解：（1）设曲线与轴相切与点，，则，
即，，
当时，轴为曲线的切线．
（2）令，，则
，，，
由，得，
当时，，为增函数；
当，时，为减函数，
，，
①当，即时，有一个零点；
②当，即时，有两个零点；
③当，即时，有三个零点；
④当，即时，有两个零点；
⑤当，即时，有一个零点，
综上，或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当，有三个零点．
高考预测二：含超越函数的零点问题
3．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解析】证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；
由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：


0








0

0





单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，则恒成立，
因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
【解析】解析：（1）函数．定义域为：，，；
，且，
在和上单调递增，
①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
，，，
在有且仅有一个零点，
②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
又（e），，（e），
在上有且仅有一个零点，
故在定义域内有且仅有两个零点；
（2）是的一个零点，则有，
曲线，则有；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线在点，处的切线方程为：，
即：，将代入，
即有：，
而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，
将代入化简，即：，
故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
故得证．
5．已知函数．是自然对数的底数，
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
【解析】解：（1）的定义域为

所以在，上单调递增．
又，
所以在区间有唯一零点，即，
又，
所以在区间有唯一零点．
综上所述，有且仅有两个零点．
（2）因为，
所以点在曲线上．
由题设
所以直线的斜率．
因为曲线在点处切线的斜率是，
曲线在点处切线的斜率也是，
所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．
6．已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点，（2）处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．
【解析】解：（1），，
由已知有（1），即，所以（经验证成立），
切点为，
故切线方程为：；
（2）的定义域为，
，
若，则当时，，
故在上单调递增，
若，则当；当，
故在上单调递增，在上单调递减；
综上：时，在上单调递增，
时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）证明：，
，因为在上递增，在递减，
所以在上递增，又，
故存在唯一使得，所以在上递减，在，上递增，
又，所以在，内存在唯一根，
由，得：，又，
故是在上的唯一零点，
综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．
7．已知函数，为常数），且为的一个极值点．
（1）求；
（2）求函数的单调区间；
（3）若的图象与轴有且只有3个交点，求的取值范围．
【解析】解：（1），
，
又是的一个极值点
（2），
则．
（2）函数的定义域为．
由（1）知．
．
由可得或，由可得．
函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，．
（3）由（2）可知函数在单调递增，
在，单调递减，在单调递增．
且当或时，．
的极大值为，
的极小值为（2）．
当充分接近0时，．当充分大时，．
要使的图象与轴正半轴有且仅有三个不同的交点，
只需（2），
即，
解得：．
8．已知函数，．
（Ⅰ）求在区间，上的最大值；
（Ⅱ）是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】解：．
当，即时，在，上单调递增，
；
当，即时，（4）；
当时，在，上单调递减，
．
综上，
函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，
即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
，
，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数；
当时，，是增函数；
当，或时，．
（1），（3）．
当充分接近0时，，当充分大时，．
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即．
存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为．
9．已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若函数没有零点，求的取值范围．
【解析】解：当时，，，
（1），（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为；
函数，．
当时，在时，的单调增区间是；
当时，函数与在定义域上的情况如下：

的单调减区间为，单调增区间为．
当时的单调增区间是；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
由可知，
①当时，是函数的单调增区间，
且有，（1），
此时函数有零点，不符合题意；
②当时，函数，在定义域上没零点；
③当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，
当，即时，函数没有零点．
综上所述，当时，没有零点．
10．已知关于的函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）设，讨论函数的单调区间；
（3）若函数没有零点，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，
，
，
，
，
即在处的切线方程为．
（2），
，
当时，在上恒成立，
在上单调递增；
当时，令，解得，
令，解得，
在单调递增，在单调递减．
（3）没有零点，
即无解，
与两图象无交点，
设两图象相切于两点，
，
，，
两图象无交点，
，．
11．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）由，
可得，
①当时，由，可得；由，可得，
即有在递减；在递增；
②当时，由，解得或，
若，则恒成立，即有在上递增；
若时，由，可得或；
由，可得；
即有在，，递增，
在，递减；
若，由，可得或；
由，可得
即有在，，递增；在，递减；
综上：当时，在递减；在递增；
当时，时，在上递增；
时，在，，递增，在，递减；
时，在，，递增；在，递减．
（2）①由（1）可得，当时，在递减；在递增，
且（1），（2），故在上存在1个零点，
取满足，且，
则（b），
故在是也存在1个零点，
故时，有2个零点；
②当时，，所以只有一个零点，不合题意；
③当时，若时，在递增，不存在2个零点，不合题意；
若，在递增，又当时，，不存在2个零点，不合题意，
当时，在单调增，在，递减，在，递增，
极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；
综上，有两个零点时，的取值范围为．
12．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）的定义域为，且，
当时，，此时在上单调递增；
当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，函数至多有一个零点，不合题意；
当时，，
由于，且，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，
由于，且（由于，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；
综上，实数的取值范围为．
13．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）由，求导，
当时，，
当，单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，，单调递增；
当时，，恒成立，
当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在，是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
当时，，
当时，，，
当时，，
当，，且远远大于和，
当，，
函数有两个零点，的最小值小于0即可，
由在是减函数，在，是增函数，
，
，即，
设，则，，
求导，由（1），
，解得：，
的取值范围．
方法二：（1）由，求导，
当时，，
当，单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，单调递增；
当时，，恒成立，
当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
当，时，，故只有一个零点，
当时，由，即，
故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，
因此在有一个零点．
的取值范围．
14．已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
【解析】解：（1）证明：当时，函数．
则，
令，则，
令，得．
当时，，当时，，
，
在，单调递增，．
（2）方法一：在只有一个零点方程在只有一个根，
在只有一个根，
即函数与的图象在只有一个交点．
，
当时，，当时，，
在递减，在递增，
当时，，当时，，
在只有一个零点时，（2）．
方法二：①当时，，在没有零点．．
②当时，设函数．在只有一个零点在只有一个零点．
，当时，，当时，，
在递减，在递增，，．
当（2）时，即，
由于，当时，，
可得．
在有2个零点
当（2）时，即，在没有零点，
当（2）时，即，在只有一个零点，
综上，在只有一个零点时，．
15．已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）求证：或是函数在上有三个不同零点的必要不充分条件．
【解析】解：（1）若，则，

由于△，

函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．
（2），
，
在区间上不单调，
由题意知，
当，时，，且，
函数的对称轴为直线，
①当，即时，
由（3），得，
由得，
此时解集为空集；
②当，即时，
由得，
由（3）得，
此时解集为空集；
，
由（3），得，
由，得或，
此时解集为；
④若，
由得，
由得或，
此时解集为
综上可得，的取值范围是．
（3）证明：

当△，
即时
函数在上单调递增
故在上不可能有三个不同零点
若在上有三个不同零点，则必有△，
即或是在上有三个不同零点的必要条件；
而当，时，满足或
但
即此时只有两个不同零点
同样，当时，满足或，
但
即此时也只有两个不同零点，
，或是在上有三个不同零点的不充分条件，
故或是在上有三个不同零点的必要不充分条件．
16．设函数
（1）设，求的极值；
（2）在（1）的条件下，若在上不是单调函数，求的范围；
（3）求的单调递增区间．
【解析】解：（1）当，，，（2分）
的单调递减区间为，单调递增区间为，（4分），
的极小值是．（6分）
（2），，（8分）
在区间上不是单调函数，
且，
（10分）
，
即：．
故的取值范围（12分）
（3），
，
令，解得．
即函数单调递增区间为．
17．设常数，函数
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）求证：有唯一的极值点．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域是，
，
时，，
，，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在递增，
时，最小，最小值是（1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
令，
要证有唯一的极值点，即证在有唯一的变号零点，
而，
令，解得：，，
其中，，，且的图象开口向上，
故在区间上，，递减，
，
在区间，上，，递增，
，
，
，即在上有唯一零点，
即在上有唯一的极值点且是极小值点．
18．已知函数，，为自然对数的底数）．
若图象过点，求的单调区间；
若在区间，上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
函数（a），当时，函数过点的切线至少有2条，求实数的值．
【解析】解：（Ⅰ）由已知，
又过点，所以，
，且定义域为，
，
令，解得：，令，解得：，
故在上是减函数，在，上是增函数；
（Ⅱ）函数的定义域为，
，
令，
则，
当时，在恒成立，
故在上是增函数，
而，
故当，时，恒成立，
故在区间，上单调递增，
故在区间，上没有极值点；
当时，由（Ⅰ）知，在区间，上没有极值点；
当时，令，解得，；
故在上是增函数，在，上是减函数，
①当（e），即时，
在，上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
②令，得，不成立；
③令（e），得，所以，，
而，又，
所以在，上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
综上所述，实数的取值范围是，．
（Ⅲ）函数（a），
由函数过点的切线，
所以，
②据题意，原命题等价于关于的方程至少有2个不同的解．
设，
，
因为，所以，
当和，时，，为增函数；
当时，，为减函数；
所以的极大值为（1），
的极小值为，
设，，
则原命题等价于对恒成立，
所以由对恒成立，得； （1）
记，，
所以时，的最大值为（4），由对恒成立，得． （2）
由（1）（2）得，．
综上，当，实数的值为时，函数过点的切线至少有2条．
19．在平面直角坐标系中，已知函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数．
（1）求实数的值；
（2）设函数在区间，内有两个极值点．①求实数的取值范围；②设函数的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），设切点，，则，
所以过原点的切线方程为：，且，
所以，
由题意：与是同一条直线，
所以；
（2）由（1）知，①，
设函数在区间，内有两个极值点分别为，，，
，
由题意则，，，
所以只需，所以
②因为，
所以，
由，
，且，
所以，
设，，
令，，
所以在，单调递减，
从而（1），
所以实数的取值范围．