(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第18讲《恒成立问题与存在性问题》（2份打包，解析版+原卷版）

第18讲 恒成立问题与存在性问题

高考预测一：不等式的恒成立问题

1．已知函数，在点，处的切线方程为．

（1）求的解析式；

（2）求证：当时，；

（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．

2．已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围．

3．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围．

4．已知函数，其中实数．

（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；

（Ⅱ）若在区间，上恒成立，求的取值范围．

5．设函数．若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．

6．已知函数，为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且，

（1）求的值；

（2）对任意，证明：；

（3）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．

7．设函数．

（Ⅰ）求函数在点， 处的切线方程；

（Ⅱ）求的极小值；

（Ⅲ）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．

8．设函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．

9．设函数，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若对所有的，都有，求实数的取值范围．

10．设函数，其中常数．

（1）讨论的单调性；

（2）若当时，恒成立，求的取值范围．

11．已知函数，

（1）证明为奇函数，并在上为增函数；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，当时，，求的最大值．

12．设函数且

（1）求函数的单调区间；

（2）已知对任意成立，求实数的取值范围．

13．设函数，

（Ⅰ）判断函数的单调性；

（Ⅱ）当上恒成立时，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：．

14．已知函数的定义域是．

（1）求函数在，上的最小值；

（2），不等式恒成立，求实数的取值范围．

15．已知，．

（Ⅰ）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，对于任意，，均有恒成立，试求参数的取值范围．

16．已知函数  是实数）．

（1）当时，求函数在定义域上的最值；

（2）若函数在，上是单调函数，求的取值范围．

17．设函数，．

（Ⅰ）当为自然对数的底数）时，求的极小值；

（Ⅱ）讨论函数零点的个数；

（Ⅲ）若对任意，恒成立，求的取值范围．

18．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，讨论函数单调性；

（Ⅲ）是否存在实数，对任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

高考预测二：不等式存在性问题

19．设函数，且，曲线在点，（1）处切线的斜率为0．

（1）求的值；

（2）若存在，，使得，求的取值范围．

20．设函数，曲线在点，（1）处的切线的斜率为0．

（1）求的值；

（2）设，若存在，，使得且，求的取值范围．

21．已知函数．

（1）若，求函数的极值和单调区间；

（2）若在区间，上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

22．已知函数．

（1）若，求函数的极小值；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若在区间，上存在一点，使得成立，求的取值范围，

23．（1）若函数的单调递减区间求，的值；

（2）设，若在上存在单调递增区间，求的取值范围；

（3）已知函数，若函数的图象在点，（2）处的切线的倾斜角为，对于任意，，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围．

24．已知函数，，，．

（Ⅰ）当时，若函数是上的增函数，求的最小值；

（Ⅱ）当，时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．

高考预测三：恒成立与存在性的综合问题

25．已知函数．

（Ⅰ）当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设．当时，

若对任意，存在，，使，求实数取值范围．

对于任意，，都有，求的取值范围．

26．已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，均存在，使得，求的取值范围．

27．已知函数为常数，

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当在处取得极值时，若关于的方程在，上恰有两个不同的相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）若对任意的，总存在，，使不等式成立，求实数的取值范围．