江苏省南京市外国语学校2022-2023学年九年级上学期阶段练习(一) 数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市外国语学校2022-2023学年九年级上学期阶段练习(一) 数学试卷(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南京外国语学校2022-2023学年九年级上学期阶段练习(一)
数学试卷（含答案详解）
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）下列是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+0＝0 B．x﹣2＝x2
C．x2﹣2＝x（x﹣2） D．
2．（2分）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　）

A．56° B．58° C．60° D．62°
4．（2分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（　　）

A．144π B．256π C．400π D．441π
5．（2分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（　　）

A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
6．（2分）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（第8题每空1分，其余每空2分，共21分）
7．（2分）已知一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是、1，写出这个方程 　 　．
8．（3分）在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝30°，∠B与∠C的度数之比是1：3，则∠B＝　 　°，∠C＝　 　°，∠D＝　 　°．
9．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 　 　．

10．（2分）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　 　．

11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝　 　°．

12．（2分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为 　 　°．

13．（2分）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA、CB．如图，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，则FD的长为 　 　．

14．（2分）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　 　cm．

15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 　 　．

16．（2分）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为 　 　，折痕CD的长为 　 　．

三、解答题（共87分）
17．（10分）请用两种方法解方程x2+mx﹣2m2＝0（m为常数）．
18．（10分）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．
（x+2）2﹣22＝6，
（x+2）2＝6+22，
（x+2）2＝10．
直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．
（x+a）2﹣b2＝5，
（x+a）2＝5+b2．
直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．
19．（10分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
20．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价，则该商品至少需打 　 　折销售．
21．（8分）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．
（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．
（2）求证：AD平分∠BDO．

22．（10分）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．

23．（6分）作图题（要求；保留作图痕迹，写出简要作图步骤）
（1）如图①，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M均为格点．以格点O为圆心，AB为直径画圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝；
（2）现有半圆形纸片，如图②，点O是圆心，直径AB的长是12cm，分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G，H．使得剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形．

24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．

25．（13分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．
（1）如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，求∠BAF的度数；
（2）现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，
①∠AFB的度数是否改变？请说明理由；
②线段AF长度的最大值是 　 　，最小值是 　 　．


南京外国语学校2022-2023学年九年级上学期阶段练习(一)
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）下列是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+0＝0 B．x﹣2＝x2
C．x2﹣2＝x（x﹣2） D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．当a＝0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．x2﹣2＝x（x﹣2），
x2﹣2＝x2﹣2x，
2x﹣2＝0，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（2分）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】化为一般形式，求出判别式Δ即可得答案．
【解答】解：将原方程整理得x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
3．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　）

A．56° B．58° C．60° D．62°
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝28°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（　　）

A．144π B．256π C．400π D．441π
【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
即这个花坛的面积为400π．
故选：C．

【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
5．（2分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（　　）

A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
【分析】根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，由此判断A、B选项；过点O作OF⊥AC于F，利用矩形的性质、直角三角形的性质判断C选项；利用三角形外角性质求得∠BOD的度数，从而判断D选项．
【解答】解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°．
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．
故选项D不符合题意；
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，即AE∥OD，故选项B不符合题意；
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；
如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，
∴OF＝DE．
在直角△AFO中，OA＞OF．
∵OD＝OA，
∴DE＜OD．
故选项C符合题意．
故选：C．

【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．切线的性质：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
6．（2分）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意，画出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如图所示；

中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25，
大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7，
因此，D选项所表示的图形符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
二、填空题（第8题每空1分，其余每空2分，共21分）
7．（2分）已知一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是、1，写出这个方程 　3x2﹣4x+1＝0　．
【分析】由一元二次方程的二次项系数是3，可设这个方程为3x2+bx+c＝0，利用根与系数的关系，可求出b，c的值，进而可得出该一元二次方程．
【解答】解：∵一元二次方程的二次项系数是3，
∴设这个方程为3x2+bx+c＝0．
∵该方程的两个根分别是，1，
∴﹣＝+1，＝×1，
∴b＝﹣4，c＝1，
∴这个方程为3x2﹣4x+1＝0．
故答案为：3x2﹣4x+1＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
8．（3分）在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝30°，∠B与∠C的度数之比是1：3，则∠B＝　50　°，∠C＝　150　°，∠D＝　130　°．
【分析】根据圆内接四边形的性质可知，圆内接四边形的对角互补，已知∠A＝30°，可求出∠C＝150°，已知∠B与∠C的度数之比是1：3，求出∠B＝50°，进而求出∠D＝130°．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝150°，
∵∠B与∠C的度数之比是1：3，
∴∠B＝50°，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝130°．
故答案为：50，150，130．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握性质并灵活运用，圆内接四边形的对角互补．
9．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 　1　．

【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出⊙O的半径，即可解答．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴AD＝＝＝2，
∴⊙O的半径是1，
故答案为：1．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2分）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　30°　．

【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．
11．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝　49　°．

【分析】根据AC是⊙O的切线，可以得到∠BAC＝90°，再根据∠AOD＝82°，可以得到∠ABD的度数，然后即可得到∠C的度数．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOD＝82°，
∴∠ABD＝41°，
∴∠C＝90°﹣∠ABD＝90°﹣41°＝49°，
故答案为：49．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为 　32　°．

【分析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∵∠P＝26°，
∴∠AOP＝90°﹣∠C＝64°，
∴∠C＝∠AOP＝32°，
故答案为：32．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13．（2分）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA、CB．如图，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，则FD的长为 　2　．

【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，进而求出∠CAB，根据切线的性质得到OD⊥DF，证明四边形FCED为矩形，根据矩形的性质得到FD＝EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理解答即可．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，
∴四边形FCED为矩形，
∴FD＝EC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，
则BC＝＝4，
∵OD⊥BC，
∴EC＝BC＝2，
∴FD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
14．（2分）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　　cm．

【分析】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，设⊙O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，

∵长边与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AC⊥BC，AD⊥OB，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．
设⊙O的半径为rcm，
则OA＝OB＝rcm，
∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，
在Rt△OAD中，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
解得：r＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 　或　．

【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A．
∴OA⊥AC，
由题意可知：D点位置分为两种情况，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，
∴OA＝r，OC＝4﹣r，
∵AC＝2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，
解得：r＝，
即AD＝AO＝；
②当∠ADC＝90°时，AD＝，
∵AO＝，AC＝2，OC＝4﹣r＝，
∴AD＝，
综上所述，AD的长为或，
故答案为：或．

【点评】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
16．（2分）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为 　60°　，折痕CD的长为 　4　．

【分析】设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，可得OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，根据切线的性质可证明∠EO′F＝60°，则可得的度数；然后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，
∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，

∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．
∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EO′F＝60°，
则的度数为60°；
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OF＝60°，
∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，
∴OO′＝＝＝4，
∴O′H＝2，
∴CH＝＝＝2，
∴CD＝2CH＝4．
故答案为：60°，4．
【点评】本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题（共87分）
17．（10分）请用两种方法解方程x2+mx﹣2m2＝0（m为常数）．
【分析】根据公式法以及因式分解法即可求出答案．
【解答】解法一：x2+mx﹣2m2＝0，
a＝1，b＝m，c＝﹣2m2，
Δ＝m2﹣4×1×（﹣2m2）
＝9m2，
x＝＝，
x1＝﹣2m，x2＝m．
解法二：x2+mx﹣2m2＝0，
（x﹣m）（x+2m）＝0，
x﹣m＝0或x+2m＝0，
x1＝﹣2m，x2＝m．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用公式法以及因式分解法，本题属于基础题型．
18．（10分）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．
（x+2）2﹣22＝6，
（x+2）2＝6+22，
（x+2）2＝10．
直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．
（x+a）2﹣b2＝5，
（x+a）2＝5+b2．
直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　5　，　±2　，　﹣2　，　﹣8　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．
【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；
（2）利用“平均数法”解方程即可．
【解答】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5．
（x+5）2﹣22＝5，
（x+5）2＝5+22．
直接开平方并整理，得．x1＝﹣2，x2＝﹣8．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、±2、﹣2、﹣8，
故答案为：5、±2、﹣2、﹣8；

（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6．
（x﹣1）2﹣42＝6，
（x﹣1）2＝6+42．
x﹣1＝±，
∴x＝1±，
直接开平方并整理，得．x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．
19．（10分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据题意列出不等式，解不等式即可；
（2）根据题意确定k的值，计算即可．
【解答】解：（1）Δ＝（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）
＝4k2﹣12k+9﹣4k2+4
＝﹣12k+13，
∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根，
∴﹣12k+13＞0，
解得，k＜，又k﹣1≠0，
∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵k是符合条件的最大整数，
∴k＝0，
x2﹣4x＝0，
x＝0或4，
当x＝0时，x2+mx﹣1＝0无意义；
当x＝4时，42+4m﹣1＝0
m＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
20．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价，则该商品至少需打 　八　折销售．
【分析】（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每天可售出（140﹣2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设该商品打y折销售，利用售价＝原价×折扣率，结合售价不超过50元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每天可售出20+10×＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60，
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴x＝50．
答：每件售价应定为50元．
（2）设该商品打y折销售，
依题意得：62.5×≤50，
解得：y≤8，
∴该商品至少需打八折销售．
故答案为：八．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（8分）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．
（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．
（2）求证：AD平分∠BDO．

【分析】（1）连结OA，由∠ACB＝20°，得∠AOD＝40°，由弧长公式即得的长为；
（2）根据AB切⊙O于点A，∠B＝90°，可得OA∥BC，有∠OAD＝∠ADB，而OA＝OD，即可得∠ADB＝∠ODA，从而AD平分∠BDO．
【解答】（1）解：连结OA，如图：

∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴＝＝；
（2）证明：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠OAD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ODA，
∴AD平分∠BDO．
【点评】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
22．（10分）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．

【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．
【解答】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．
求证：AM＝BM，，．
证明：连接OA、OB，

∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，
∴，．
【点评】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．
23．（6分）作图题（要求；保留作图痕迹，写出简要作图步骤）
（1）如图①，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M均为格点．以格点O为圆心，AB为直径画圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝；
（2）现有半圆形纸片，如图②，点O是圆心，直径AB的长是12cm，分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G，H．使得剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形．

【分析】（1）取格点C，连接CM，BC，BM，由勾股定理可得OM＝OB＝BC＝CM，则四边形MOBC为菱形，可得∠ABM＝∠CBM，延长BC，交于点P，即可得，则点P即为所求．
（2）分别以点A，B为圆心，线段OA的长为半径画弧，分别交半圆于点E，F，取点A为点G，点O为点H，点B为点G'，连接EG，EF，FH，EH，FG'，则可得∠EHG＝∠EHF＝∠FHG'＝60°，进而可得四边形EFHG与四边形EFG'H为边长为6cm的菱形．
【解答】解：（1）如图①，取格点C，连接CM，BC，BM，并延长BC，交于点P，则点P即为所求．

（2）如图②，分别以点A，B为圆心，线段OA的长为半径画弧，分别交半圆于点E，F，取点A为点G，点O为点H，点B为点G'，连接EG，EF，FH，EH，FG'，则四边形EFHG或四边形EFG'H即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、圆周角定理、勾股定理、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．

【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
（2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论．
【解答】证明：（1）如图，连接AD，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠A；
（2）如图，连接OC，

∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∵，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠OCD+∠DCE＝90°，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
25．（13分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．
（1）如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，求∠BAF的度数；
（2）现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，
①∠AFB的度数是否改变？请说明理由；
②线段AF长度的最大值是 　　，最小值是 　4﹣　．

【分析】（1）证明△ACE≌△BCD（SAS），推出∠CAE＝∠CBD＝20°，可得结论；
（2）①结论：∠AFB的度数是60°，为定值．利用全等三角形的性质，“8字型“的性质解决问题即可；
②P判断出点F的运动轨迹，分别求出AF的最大值和最小值即可．
【解答】解：（1）如图1中∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴CA＝CNB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝20°；

（2）①结论：∠AFB的度数是60°，为定值．
理由：如图1中，设AC交BF于点J．

∵△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠BJC＝∠AJF，
∴∠AFJ＝∠BCJ＝60°，
∴∠AFB是定值；

②如图2中，∵∠AFB＝∠ACB＝60°，
∴点F在△ABC的外接圆⊙O上运动，即图2中弧MN上运动．

过点O作OH⊥AB于点H．
在Rt△AOH中，∠AHO＝90°，AH＝BH＝，∠OAH＝30°，
∴AO＝＝＝，
∴AF的最大值为2OA＝，
当CD⊥BF时，AF的值最小如图3中，此时M，F重合．连接CF

∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC＝∠CDB＝90°，
∵AC＝5，CE＝3，
∴AE＝＝＝4，
∵∠CDF＝∠CEF＝90°，CD＝CE，CF＝CF，
∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∴EF＝CE•tan30°＝，
∴AF的最小值＝AE﹣CF＝4﹣．
故答案为：，4﹣．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．