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人教版八年级上册数学 期中复习 优质课件
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这是一份人教版八年级上册数学 期中复习 优质课件，共60页。PPT课件主要包含了三角形全等的条件等内容，欢迎下载使用。
第十一章 三角形
三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边.
2.三角形的高、中线、角平分线的定义
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高.连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形这条边上的中线.
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.
1.三角形的内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
直角三角形的两个锐角互余.有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
4.三角形外角和的性质
三角形的外角和等于360°.
1.多边形和正多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 形叫做多边形.各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形.
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
多边形的外角和等于360°.
例1 如图，三角形纸片ABC中，A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为 。
例2 在绿茵场上，足球队带求进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？
解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球更容易射中，理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE，所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE，即∠ADB＞∠ACB.
例3 已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x-1，5x-3，求其周长.
解：（1）若x=2x-1，则x=1，此时三边为1,1,2，因为1+1=2，不符合三角形三边关系，舍去。 （2）若x=5x-3，x=(3/4)。此时三边为(3/4)，(1/2)，(3/4)，符合三角形三边关系，周长为(3/4)+(1/2)+(3/4)=2 （3）若2x-1=5x-3，x=(2/3)。此时三边为(2/3)，(1/3)，(1/3)，因为(1/3)+(1/3)=(2/3)，所以不符合三角形三边关系，舍去综上，此等腰三角形的周长为2.
例4 如图，D、E为△ABC内的两点，试说明AB+AC＞BD+DE+EC.
证明：延长BD交AC于点P,延长CE交BP于点F.在△ABP中,AB+AP>BP=BF+PF.在△PFC中，FP+PC>FC=FE+EC.∴AB+AP+FP+PC>BF+PF+EF+EC.即AB+AC>BF+EF+EC=BD+DF+EF+EC.在△FDE中，DF+EF>DE,∴BD+DF+EF+EC>BD+DE+EC.即AB+AC>BD+DE+EC.
例5 如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A.150° B.130° C.120° D.100°
例6 如图所示，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线。（1）试探求∠F与∠B、∠D间有何等量关系。
（2）EF与FC能垂直吗？说明理由.
（3）若∠B：∠D：∠F=2：x：3，求x的值.
解：（1）∠D+∠B=2∠F∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD∴∠DEF=(1/2)DEB，∠FCD=(1/2)∠BCD而∠EMC=∠D+(1/2)∠BED， ∠EMC=∠F+(1/2)∠BCD∴∠D+(1/2)∠BED=∠F+(1/2)∠BCD ① 同理可得：∠B+(1/2)∠BCD=∠F+(1/2)∠BED ② ①+②得：∠D+∠B=2∠F.
（2）能，若EF与FC垂直，即∠F=90°，则∠B+∠D=180° ，也就是说，如果∠D与∠B互补，则EF⊥FC.
（3） ∵∠B：∠D：∠F=2：x：3 ， ∴设∠B=2m，∠D=xm，∠F=3m ， 由（1）得xm+2m=2×3m ∴x=4.
例7 阅读下面的问题及解答： 如图（1），△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，如图（2），△ABC 中∠ABC、∠ACB的三等分线交于O1、O2，则∠BO1C=(2/3)×180°+(1/3)∠A，∠BO2C=(1/3)×180°+(2/3)×∠A。根据以上信息：
（1）你能猜想出它的规律？ n等分时[内部有（n-1）个点， ∠BO1C= , ∠BOn-1C= （用含n的代数式表示）
（2）根据你的猜想，当n=4时说明∠BO3C的度数成立.
解：（1）当n=2时，∠BOC=(1/2)×180°+(1/2)∠A， 当n=3时，∠BO1C=(2/3)×180°+(1/3)∠A，∠BO2C=(1/3)×180°+(2/3)∠A。
由此可见，系数分母即是n，∠BO1C的系数的第一个分子是n-1，第二个分子是1.由此可猜想∠BO1C=(n-1/n)×180°+(1/n)∠A。同理：∠BOn-1C=(1/n)×180°+(n-1/n)∠A。
（2）当n=4时，代入所猜想的公式得∠BO3C=(1/4)×180°+(3/4)×∠A。 另外，在△BO3C中由三角形内角和定理得： ∠BO3C=180°-（∠O3BC+∠O3CB） =180°-(3/4)（∠ABC+∠ACB） =180°-(3/4)（180°-∠A） =(1/4)×180°+(3/4)∠A 结果与猜想一致。
例8 求证：两条平行线被第三条直线所截得的一组同旁内角的平分线互相垂直。
已知：如图，AB∥CD，EF交AB与于E，EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，EM与FN交于G。求证：EM⊥FN.
证明：∵AB∥CD ∴∠BEF+∠DFE=180° ∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFE， ∴∠1+∠2=(1/2)（∠BEF+∠DFE） =(1/2)×180°=90° ∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=90° ∴EM⊥FN
解：设原多边形是n边形，分两种情况讨论： （1）若截取不经过多边形的另一个顶点，则新多边形仍是n边形（如图（1）） 由题设得：（n-2）.180°=2520°，解得n=16° （2）若截线经过多边形的顶点，则新多边形（n-1）边形（如图（2））， 由题设得：（n-1-2）.180°=2520°，解得：n=17 综上：n=16或17
例9 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K的度数是多少？
【解析】如图，设AK与GH交于点M，GF与DE交于点N，连接AG，GD.在△MAG与△MHK中，∵∠AMG＝∠HMK，∴∠MAG＋∠MGA＝∠H＋∠K.同理可得，∠NGD＋∠NDG＝∠E＋∠F.∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝∠BAK＋∠MAG＋∠MGA＋∠MGN＋∠NGD＋∠NDG＋∠CDE＋∠C＋∠B＝∠BAG＋∠AGD＋∠GDC＋∠C＋∠B＝(5－2)×180°＝540°.
第十二章 全等三角形
1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
2：全等三角形有哪些性质？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE.
二.角的平分线：1.角平分线的性质：
学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（2）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
第十三章 轴对称
例1 下列说法中，正确的个数是（ ）①轴对称图形只有一条对称轴②轴对称图形的对称轴是一条线段③两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形④全等的两个图形一定成轴对称⑤轴对称图形是指一个图形，而成轴对称是指两个图形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
例2 下列图案是轴对称图形的有（ ） A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个例3 等腰三角形的对称轴有（ ） A. 1条 B. 3条 C. 1条或3条 D.无数条
例4 如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A. 在AC，BC两边高线的交点处B. 在AC，BC两边中线的交点处C. 在AC，BC两边垂直平分线的 交点处D. 在∠A，∠B两内角平分线的 交点处
解：∵DE是AC的垂直平分线∴AD=CD，CE=AE=5 cm∴AC=AE+CE=10 cm∵△CBD的周长为24 cm∴BC+CD+BD=BC+AD+BD=BC+AB=24(cm)∴△ABC的周长为AC+AB+BC=10+24=34(cm)
例5 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm.求△ABC的周长.
证明：连接AF.∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵EF为AB的垂直平分线 ∴BF=AF ∴∠BAF=∠B=30°∴∠FAC=120°-30°=90°∵∠C=30° ∴CF=2AF∵BF=AF ∴FC=2BF
例6 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：FC=2BF.
例7 已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的另外两个内角度数分别是 .例8 已知等腰三角形的一个内角是100°，则它的另外两个内角度数分别是 .例9 已知等腰三角形有两边的长分别为8，4，则这个等腰三角形的周长是 .例10 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为 .
55°，55°或 70°，40°
例11 如图，已知P，Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ．求∠BAC的度数．
解：∵AP=PQ=AQ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°∵AP=BP ∴∠B=∠PAB∵∠APQ=∠B+∠PAB=60°∴∠B=∠PAB=30°同理得 ∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC =30°+60°+30°=120°
例12 如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小．
解：∵△OAB和△ODC都是等边三角形，且点O是线段AD的中点.∴OD=OC=OB=OA，∴∠1=∠2=60°，∠4=∠5，又∵∠4+∠5=∠2=60°，∠4=30 ° ，同理，∠6=30°，∴∠AEB=∠4+∠6=60°.
例13 在平面直角坐标系中，点P(-2，1)关于y轴对称的点的坐标为 ，点P(-2，1)关于x轴对称的点的坐标为 ．例14 如图，求△ABC的顶点A，B，C关于y轴对称的点的坐标.
解：点A，B，C的坐标分别是A(-3，2)，B(-4，-2)，C(-2，-3)，因为点(x，y)关于y轴对称点的坐标为(-x，y),所以点A，B，C关于y轴对称点的坐标分别是A'(3，2)，B'(4，-2)，C'(2，-3).
例15 如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点.写出点A的坐标 ，B的坐标 .利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）.
例16 如图，要给A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
解：如图，作A关于燃气管道m（第一条线）的对称点C．连接BC交燃气管道m于点P，则点P为所求，即要在燃气管道m上修建一个泵
站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的点P处，可使用所用的输气管线最短．
例17 如图，河流 l 两旁有两个村庄A，B，现要在河边修一个水泵站，同时向A，B两村供水，问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短？试在图中标出水泵站（用点P表示）的位置，并说明这样做的理由．
解：如图，连接AB，交河边于点P，则点P即为所求.理由：两点之间，线段最短．
第十一章 三角形
三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边.
2.三角形的高、中线、角平分线的定义
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高.连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形这条边上的中线.
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.
1.三角形的内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
直角三角形的两个锐角互余.有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
4.三角形外角和的性质
三角形的外角和等于360°.
1.多边形和正多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 形叫做多边形.各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形.
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
多边形的外角和等于360°.
例1 如图，三角形纸片ABC中，A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为 。
例2 在绿茵场上，足球队带求进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？
解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球更容易射中，理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE，所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE，即∠ADB＞∠ACB.
例3 已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x-1，5x-3，求其周长.
解：（1）若x=2x-1，则x=1，此时三边为1,1,2，因为1+1=2，不符合三角形三边关系，舍去。 （2）若x=5x-3，x=(3/4)。此时三边为(3/4)，(1/2)，(3/4)，符合三角形三边关系，周长为(3/4)+(1/2)+(3/4)=2 （3）若2x-1=5x-3，x=(2/3)。此时三边为(2/3)，(1/3)，(1/3)，因为(1/3)+(1/3)=(2/3)，所以不符合三角形三边关系，舍去综上，此等腰三角形的周长为2.
例4 如图，D、E为△ABC内的两点，试说明AB+AC＞BD+DE+EC.
证明：延长BD交AC于点P,延长CE交BP于点F.在△ABP中,AB+AP>BP=BF+PF.在△PFC中，FP+PC>FC=FE+EC.∴AB+AP+FP+PC>BF+PF+EF+EC.即AB+AC>BF+EF+EC=BD+DF+EF+EC.在△FDE中，DF+EF>DE,∴BD+DF+EF+EC>BD+DE+EC.即AB+AC>BD+DE+EC.
例5 如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A.150° B.130° C.120° D.100°
例6 如图所示，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线。（1）试探求∠F与∠B、∠D间有何等量关系。
（2）EF与FC能垂直吗？说明理由.
（3）若∠B：∠D：∠F=2：x：3，求x的值.
解：（1）∠D+∠B=2∠F∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD∴∠DEF=(1/2)DEB，∠FCD=(1/2)∠BCD而∠EMC=∠D+(1/2)∠BED， ∠EMC=∠F+(1/2)∠BCD∴∠D+(1/2)∠BED=∠F+(1/2)∠BCD ① 同理可得：∠B+(1/2)∠BCD=∠F+(1/2)∠BED ② ①+②得：∠D+∠B=2∠F.
（2）能，若EF与FC垂直，即∠F=90°，则∠B+∠D=180° ，也就是说，如果∠D与∠B互补，则EF⊥FC.
（3） ∵∠B：∠D：∠F=2：x：3 ， ∴设∠B=2m，∠D=xm，∠F=3m ， 由（1）得xm+2m=2×3m ∴x=4.
例7 阅读下面的问题及解答： 如图（1），△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，如图（2），△ABC 中∠ABC、∠ACB的三等分线交于O1、O2，则∠BO1C=(2/3)×180°+(1/3)∠A，∠BO2C=(1/3)×180°+(2/3)×∠A。根据以上信息：
（1）你能猜想出它的规律？ n等分时[内部有（n-1）个点， ∠BO1C= , ∠BOn-1C= （用含n的代数式表示）
（2）根据你的猜想，当n=4时说明∠BO3C的度数成立.
解：（1）当n=2时，∠BOC=(1/2)×180°+(1/2)∠A， 当n=3时，∠BO1C=(2/3)×180°+(1/3)∠A，∠BO2C=(1/3)×180°+(2/3)∠A。
由此可见，系数分母即是n，∠BO1C的系数的第一个分子是n-1，第二个分子是1.由此可猜想∠BO1C=(n-1/n)×180°+(1/n)∠A。同理：∠BOn-1C=(1/n)×180°+(n-1/n)∠A。
（2）当n=4时，代入所猜想的公式得∠BO3C=(1/4)×180°+(3/4)×∠A。 另外，在△BO3C中由三角形内角和定理得： ∠BO3C=180°-（∠O3BC+∠O3CB） =180°-(3/4)（∠ABC+∠ACB） =180°-(3/4)（180°-∠A） =(1/4)×180°+(3/4)∠A 结果与猜想一致。
例8 求证：两条平行线被第三条直线所截得的一组同旁内角的平分线互相垂直。
已知：如图，AB∥CD，EF交AB与于E，EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，EM与FN交于G。求证：EM⊥FN.
证明：∵AB∥CD ∴∠BEF+∠DFE=180° ∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFE， ∴∠1+∠2=(1/2)（∠BEF+∠DFE） =(1/2)×180°=90° ∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=90° ∴EM⊥FN
解：设原多边形是n边形，分两种情况讨论： （1）若截取不经过多边形的另一个顶点，则新多边形仍是n边形（如图（1）） 由题设得：（n-2）.180°=2520°，解得n=16° （2）若截线经过多边形的顶点，则新多边形（n-1）边形（如图（2））， 由题设得：（n-1-2）.180°=2520°，解得：n=17 综上：n=16或17
例9 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K的度数是多少？
【解析】如图，设AK与GH交于点M，GF与DE交于点N，连接AG，GD.在△MAG与△MHK中，∵∠AMG＝∠HMK，∴∠MAG＋∠MGA＝∠H＋∠K.同理可得，∠NGD＋∠NDG＝∠E＋∠F.∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝∠BAK＋∠MAG＋∠MGA＋∠MGN＋∠NGD＋∠NDG＋∠CDE＋∠C＋∠B＝∠BAG＋∠AGD＋∠GDC＋∠C＋∠B＝(5－2)×180°＝540°.
第十二章 全等三角形
1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
2：全等三角形有哪些性质？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE.
二.角的平分线：1.角平分线的性质：
学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（2）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
第十三章 轴对称
例1 下列说法中，正确的个数是（ ）①轴对称图形只有一条对称轴②轴对称图形的对称轴是一条线段③两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形④全等的两个图形一定成轴对称⑤轴对称图形是指一个图形，而成轴对称是指两个图形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
例2 下列图案是轴对称图形的有（ ） A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个例3 等腰三角形的对称轴有（ ） A. 1条 B. 3条 C. 1条或3条 D.无数条
例4 如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A. 在AC，BC两边高线的交点处B. 在AC，BC两边中线的交点处C. 在AC，BC两边垂直平分线的 交点处D. 在∠A，∠B两内角平分线的 交点处
解：∵DE是AC的垂直平分线∴AD=CD，CE=AE=5 cm∴AC=AE+CE=10 cm∵△CBD的周长为24 cm∴BC+CD+BD=BC+AD+BD=BC+AB=24(cm)∴△ABC的周长为AC+AB+BC=10+24=34(cm)
例5 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm.求△ABC的周长.
证明：连接AF.∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵EF为AB的垂直平分线 ∴BF=AF ∴∠BAF=∠B=30°∴∠FAC=120°-30°=90°∵∠C=30° ∴CF=2AF∵BF=AF ∴FC=2BF
例6 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：FC=2BF.
例7 已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的另外两个内角度数分别是 .例8 已知等腰三角形的一个内角是100°，则它的另外两个内角度数分别是 .例9 已知等腰三角形有两边的长分别为8，4，则这个等腰三角形的周长是 .例10 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为 .
55°，55°或 70°，40°
例11 如图，已知P，Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ．求∠BAC的度数．
解：∵AP=PQ=AQ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°∵AP=BP ∴∠B=∠PAB∵∠APQ=∠B+∠PAB=60°∴∠B=∠PAB=30°同理得 ∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC =30°+60°+30°=120°
例12 如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小．
解：∵△OAB和△ODC都是等边三角形，且点O是线段AD的中点.∴OD=OC=OB=OA，∴∠1=∠2=60°，∠4=∠5，又∵∠4+∠5=∠2=60°，∠4=30 ° ，同理，∠6=30°，∴∠AEB=∠4+∠6=60°.
例13 在平面直角坐标系中，点P(-2，1)关于y轴对称的点的坐标为 ，点P(-2，1)关于x轴对称的点的坐标为 ．例14 如图，求△ABC的顶点A，B，C关于y轴对称的点的坐标.
解：点A，B，C的坐标分别是A(-3，2)，B(-4，-2)，C(-2，-3)，因为点(x，y)关于y轴对称点的坐标为(-x，y),所以点A，B，C关于y轴对称点的坐标分别是A'(3，2)，B'(4，-2)，C'(2，-3).
例15 如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点.写出点A的坐标 ，B的坐标 .利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）.
例16 如图，要给A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
解：如图，作A关于燃气管道m（第一条线）的对称点C．连接BC交燃气管道m于点P，则点P为所求，即要在燃气管道m上修建一个泵
站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的点P处，可使用所用的输气管线最短．
例17 如图，河流 l 两旁有两个村庄A，B，现要在河边修一个水泵站，同时向A，B两村供水，问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短？试在图中标出水泵站（用点P表示）的位置，并说明这样做的理由．
解：如图，连接AB，交河边于点P，则点P即为所求.理由：两点之间，线段最短．
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