2022届海南省高三上学期学业水平诊断一数学试题含解析

2022届海南省高三上学期学业水平诊断一数学试题

一、单选题

1．（       ）

A．1 B．i

C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的乘除法法则对复数化简即可.

【详解】解：．

故选：B．

2．已知集合，，若，则实数m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对分两种情况讨论，化简集合，解一元二次不等式化简集合，再根据交集的结果，即可得到答案；

【详解】，

当时，，，不成立；

当时，，，

，，

故选：C.

3．已知函数若，则（       ）

A．7 B．-2 C．2 D．7或-2

【答案】D

【分析】由函数解析式，分时，；时，，分别求解即可得选项.

【详解】解：因为，，所以

当时，，解得，满足，故时不等式成立；

当时，，解得，满足，故时不等式成立；

故选：D.

4．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（       ）

A．-1 B．1 C．-3 D．3

【答案】B

【分析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.

【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，

所以，，所以且，即.

故选：B.

5．已知函数（是的导函数），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案；

【详解】，，

，，

故选：D.

6．函数的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由函数值的符号判断排除可得选项.

【详解】解：因为函数的定义域为R，且，

所以函数是奇函数，故排除C、D，

又，故排除B选项.

故选：A.

7．已知函数，若，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由对数型复合函数的单调性判断即可得出结果.

【详解】作出函数，的图象如图所示：

则的单调递增区间为：，单调递减区间为：.

，，

.

,

.

故选：A

8．某地采用10合1混检的方式对居民进行新冠病毒核酸检测，即将10个人的咽拭子样本放入同一个采集管中进行检测，最后不满10人的，如果人数小于5，就将他们的样本混到前一个采集管中，否则再使用一个新的采集管．则各采样点使用的采集管个数y与到该采样点采样的人数之间的函数关系式为（       ）（表示不大于x的最大整数）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由x能被10整除或x除以10的余数为1，2，3，4可得，由x除以10的余数为5，6，7，8，9可得，即可得出结果.

【详解】当x能被10整除或x除以10的余数为1，2，3，4时，

，即不需要再使用新的采集管；

当x除以10的余数为5，6，7，8，9时，

，即需要再使用一个新的采集管；

故选：C

二、多选题

9．在菱形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意和菱形的性质可得、、、，依次判断选项即可.

【详解】在菱形中，即，所以，

又，所以与不共线，故A正确，B错误；

因为E、F分别是AB、AD的中点，所以，

又，所以，所以，故C正确，D错误.

故选：AC

10．已知等差数列的前n项和为，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据题意和等差数列的前n项和公式、等差中项的应用可得，进而可得，利用计算即可判断选项C、D.

【详解】由题意知，，得，

即，解得，所以，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，当时，不成立，故D错误.

故选：ABC

11．将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（       ）

A．

B．的图象相邻两条对称轴间距离为

C．在上单调递减

D．在上的值域为

【答案】BD

【分析】由图象的平移和伸缩得出函数的解析式，对于A，代入计算可判断；对于B，求得函数的最小正周期，可得相邻两条对称轴间距离；对于C，由已知得，根据正弦函数的单调性可判断；对于D，由已知得，根据正弦函数的性质可判断.

【详解】解：由已知得，所以，

对于A，，故A不正确；

对于B，的最小正周期，所以的图象相邻两条对称轴间距离为，故B正确；

对于C，当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故C不正确；

对于D，当时，，所以，故D正确，

故选：BD．

12．已知函数，则（       ）

A．在上单调递减，在上单调递增

B．有2个不同的零点

C．若a，，则

D．若且，则

【答案】AD

【分析】对函数进行求导，解导数不等式，利用零点存在性定理，利用作差法比较大小，利用极值点偏移，即可得到答案；

【详解】对A，，

，

，当，

在上单调递减，在上单调递增，故A正确；

对B，，，故B错误；

对C，

，故C错误；

对D，不妨设，，要证，

设

，

函数在单调递增，且，

恒成立，，

，且在单调递增，

，故D正确；

故选：AD

三、填空题

13．已知两个单位向量，满足，则向量，的夹角为______．

【答案】

【分析】首先根据平面向量的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；

【详解】解：由单位向量，满足，得，所以，，所以，

又,所以.

故答案为：

14．已知，请写出一个满足条件的______．

【答案】

【分析】根据诱导公式可得，结合两角和的余弦公式即可得出结果.

【详解】由题意知，，

又，

所以可以为.

故答案为：

15．已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______．

【答案】2

【分析】由已知得，再根据基本不等式求得，由此可得最大值.

【详解】解：因为，所以，

又x，y，z为正实数，所以，当且仅当时取等号，

所以，即，所以，当且仅当时取等号.

所以的最大值为2，

故答案为：2.

16．在等差数列中，，与互为相反数，为的前n项和，，则的最小值是______．

【答案】6

【分析】根据条件求出，，对进行分类讨论求出，求出的表达式，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得到答案；

【详解】，，

解得：，，

，

，，

当时，

，

当时，

，

当时，，

考察函数，，

当时，，在单调递增，

当时，为最小值；

当时，，

考察函数，，

当时，；函数在单调递增，

当时，为最小值；

综上所述：的最小值是；

故答案为：

四、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)求A；

(2)若的面积为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理与求出，进而得到；（2）结合第一问求出的和，的面积，得到，，再用余弦定理求出.

(1)

因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，因为，所以；

(2)

的面积为，因为，的面积为，所以，解得：，故，所以

18．奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射3箭，某选手前三局的环数统计如下表：

(1)求该选手这9箭射中的环数的平均数和方差；

(2)若以该选手前9箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影响，求他第4局的总环数不低于29的概率．

【答案】(1)平均数为9，方差为.

(2)

【分析】（1）根据平均数和方差的公式计算即可；

（2）该选手第4局的总环数不低于29，包含"1个9环，2个10环”和"3个10环"两种情况，射中9环的概率为，射中10环的概率为，计算即可求得概率.

(1)

平均数为，

方差为

(2)

该选手第4局的总环数不低于29，包含"1个9环，2个10环”和"3个10环"两种情况，

由表中数据可知，该选手每一箭射中9环的概率为，射中10环的概率为，

所以所求的概率为

19．已知各项都为正数的等比数列的前n项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，若，求正整数k的值．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）设数列的公比q，由等比数列的通项公式和求和公式可求得答案；

（2）由（1）得， ，从而求得代入方程中求解即可.

(1)

解：设数列的公比q，由得又，所以，解得（舍去）或

所以，所以；

(2)

解：由（1）得，又，所以，所以

由得，整理得，解得（舍去）或.

所以.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDP，，，且．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值．

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）先证明线线垂直，从而证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解线面角.

(1)

因为平面CDP，平面CDP，所以，因为，且，所以，，因为，所以，，所以，因为，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以平面平面ABCD

(2)

因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD，由第一问可知：，平面ABCD，平面ABCD，所以，所以以D为坐标原点，DE，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，，，设平面ADP的法向量，则 ，解得：，令得：，所以，设直线PB与平面ADP所成角为，则

21．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，过点的动直线l与C交于A，B两点，且当动直线l与y轴重合时，四边形的面积为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若与的面积之比为2:1，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）根据离心率和直线l与y轴重合时四边形的面积列出方程，结合，得到，，进而求出椭圆方程；（2）根据与的面积之比为2:1，转化为线段的比值，分为两种情况，进而求出直线l的方程.

(1)

如图，四边形的面积为，又因为，，解得：，，所以椭圆C的标准方程为；

(2)

当直线l的斜率不存在时，此时与的面积相等，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l方程为与x轴的交点为D，则，因为与的面积之比为2:1，如图1，则，故，即，解得：；直线l的方程为；如图2，则，即，解得：，直线l的方程为；综上：直线l的方程为或

22．已知函数，．

(1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，将点的坐标代入切线方程，可求得实数的值；

（2）分析可知，结合函数的极值与最值的关系可知为函数的极小值，可得出，求得，再利用导数验证函数在处取得最小值，即可得解.

(1)

解：因为，则函数的定义域为，则，

所以，，，

所以，曲线在点处的切线方程为，

由题意可知，直线过点，所以，，解得.

(2)

解：因为，且对任意的，，故，

又因为函数为可导函数，则为函数的极小值，

因为，由已知可得，解得.

检验：当时，，其中，则，

令，其中，则，

故函数在上单调递增，且，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

综上所述，.

因此，.