2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（三）数学试题含解析

2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（三）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．或

【答案】B

【分析】由交集的定义可求得集合.

【详解】因为，，故.

故选：B.

2．已知直线，，若，则(       )

A． B． C．3 D．－3

【答案】A

【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于－1，据此即可列式求出a的值．

【详解】∵，∴．

故选：A．

3．已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

4．如图所示的程序框图，若输入，则输出S的值是（       ）

A．6 B．14 C．16 D．38

【答案】C

【分析】初始值：k=0，n=4，S=1，根据判断条件，执行循环，直到跳出循环，输出结果

【详解】k=0，n=4，S=1

第一循环：n=4，S=2,k=2

第二循环：n=4，S=6,k=4

第三循环：n=4，S=16,k=6

输出S=16

故选：C

5．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】画出可行域，找到最优解，得最值.

【详解】画出不等式组对应的可行域如下：

平行移动直线，当直线过点时，

.

故选：B.

6．已知，为了得到的图像，只需将的图像（       ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【分析】根据三角函数平移法则即可得到答案.

【详解】解：因为=，

所以只需给图像向左平移个单位，

即可得到的图像.

故选：A

7．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由圆锥轴截面形状和面积易得体高、底面半径均为，利用圆锥体积公式求体积.

【详解】由题设，圆锥的体高、底面半径均为，

所以圆锥的体积为.

故选：D

8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（       ）A．68              B．68.3              C．68.5              D．70

【答案】A

【分析】先求得的值，再利用回归方程求得的值，进而得到所求数据.

【详解】

又，则

则表中模糊看不清的数据为

故选：A

9．已知，则(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数诱导公式和余弦二倍角公式即可计算求值．

【详解】．

故选：A．

10．已知点在直线上，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由点在直线上，可知，利用基本不等式和“1”的妙用即可求出.

【详解】由点在直线上，可知，

，当且仅当,即，时等号成立.

故选：.

二、填空题

11．已知函数，则___________.

【答案】

【分析】首先求得，可知.

【详解】，.

故答案为：.

12．在中，已知，，，则的面积等于___________.

【答案】

【分析】利用正弦定理可求得，由三角形内角和可得，代入三角形面积公式即可求得结果.

【详解】由正弦定理得：，

又，.

故答案为：.

13．函数的定义域为_______

【答案】

【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，

故答案为：.

14．在等比数列中，若，是方程的两根，则_________.

【答案】

【分析】利用韦达定理可得，根据等比数列性质若，则，可得．

【详解】若，是方程的两根，则

∵数列为等比数列，则

故答案为：．

15．直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m=___________.

【答案】1

【分析】求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可.

【详解】直线MN的方程可化为，

由，得，

所以直线MN过定点A（1，1），

因为，即点A在圆内.

当时，|MN|取最小值，

由，得，∴，

故答案为：1.

三、解答题

16．已知函数，求

（1）求函数的最小正周期；

（2）当，求函数的值域．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式有，即可求最小正周期；

（2）由题设得，再由正弦函数的性质求值域即可.

【详解】，

（1）最小正周期为；

（2）由知：，故.

17．直三棱柱中，，.

(1)求证：平面.

(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由直棱柱特征和线面垂直性质可得，由和线面垂直判定可得结论；

（2）根据平面可知，由此可求得，利用三棱锥体积公式可求得结果.

【详解】(1)三棱柱为直三棱柱，平面，

又∵平面，，

又∵，即，

又∵，平面，

平面.

(2)三棱柱为直三棱柱，平面，

即为与平面所成角，；

，，，

，

.

18．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；

（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果

【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，

所以即，解得，

所以；

（2）由（1）得，

所以.

19．某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年龄分布，交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：

(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；

(2)现在从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行问卷调查，求这2人中至少有一人年龄在的概率．

【答案】(1)，中位数为；

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再根据中位数计算公式计算可得；

（2）根据分层抽样求出、的人数，分别记作、、、、，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】(1)解：依题意可得，解得，

因为，所以中位数为于，

设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为；

(2)解：从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，则中抽取人，记作、，

中抽取人，记作、、，

则从这5人中抽取2人进行问卷调查有，，，，，，，，，共个基本事件；

满足这2人中至少有一人年龄在的有，，，，，，共个基本事件，

所以满足这2人中至少有一人年龄在的概率；

20．已知函数.

(1)若函数在是增函数，求的取值范围；

(2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数可知对称轴为，由单调性可知，即可求解；

（2）整理问题为在时恒成立，设，则可转化问题为在时恒成立，讨论对称轴与的位置关系，进而求解.

【详解】(1)因为函数，所以对称轴为，

因为在是增函数，所以，解得

(2)因为对于任意的，恒成立，

即在时恒成立，所以在时恒成立，

设，则对称轴为，即在时恒成立，

当，即时，，解得；

当，即时，，解得（舍去），

故.