2018-2019学年辽宁师范大学附属中学高二下学期学业水平模拟考试（3月）数学试题含解析

这是一份2018-2019学年辽宁师范大学附属中学高二下学期学业水平模拟考试（3月）数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年辽宁师范大学附属中学高二下学期学业水平模拟考试（3月） 数学试题  一、单选题1．集合，则（  ）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用并集的定义求解即可.【详解】因为，所以=,故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2．函数在区间[-2,-1]上的最大值是(       )A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【解析】根据函数的单调性，判断出当时函数取得最大值，并由此求得最大值.【详解】由于为定义域上的减函数，故当时函数取得最大值为.故选C.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查指数运算，考查函数最值的求法，属于基础题.3．函数的最小正周期是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据求最小正周期的公式,即可求出答案【详解】因为 ：    所以： ．故答案选：C【点睛】由，求函数最小正周期4．已知,则的值是 （        ）A．0 B．–1 C．1 D．2【答案】A【解析】利用函数解析式，直接求出的值.【详解】依题意.故选A.【点睛】本小题主要考查函数值的计算，考查函数的对应法则，属于基础题.5．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（        ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根据三视图得到几何体为圆柱，根据圆柱的表面积公式计算出表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为，故选A.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆柱的表面积计算公式，属于基础题.6．已知向量，向量，若，则实数的值为（       ）A． B．3 C． D．1【答案】B【解析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，由此求得的值.【详解】由于两个向量垂直，故，故选B.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.7．在某次考试中，共有100个学生参加考试，如果某题的得分情况如表：得分0分1分2分3分4分百分率37.08.66.028.220.2 那么这些得分的众数是（   ）A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分【答案】C【解析】由题意得，得分为0分的比例为37.0%，所占比例最大，所以这些得分的众数是0。选C。8．若回归直线的方程为，则变量x 增加一个单位时 （       ）A．y 平均增加1．5个单位 B．y 平均增加2个单位C．y 平均减少1．5个单位 D．y 平均减少2个单位【答案】C【解析】根据回归直线方程的斜率为负，可得出正确选项.【详解】由于回归直线方程为，其斜率为，故变量增加一个单位时，平均减少个单位.故选C.【点睛】本小题主要考查对回归直线方程系数的理解，考查直线的斜率，属于基础题.9．直线过点且与直线垂直，则的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得.【详解】因为直线与直线垂直,所以设直线,因为直线过点,所以,即方程为.故选：C.【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，与已知直线平行的直线一般可设其方程为；与已知直线垂直的直线一般可设其方程为.10．已知，，若，则点的坐标为（         ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设出的坐标，代入，计算出点的坐标.【详解】设，则，，根据得，即，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.11．对于不同直线以及平面，下列说法中正确的是（      ）A．如果，则 B．如果，则C．如果,则 D．如果,则【答案】D【解析】根据线线、线面平行和垂直有关定理，对四个选项逐一分析，得出正确选项.【详解】对于A选项，可能含于，故A选项错误.对于B选项，两条直线可能异面，故B选项错误.对于C选项，可能含于，故C选项错误.对于D选项，根据线面垂直的性质定理可知，D选项正确，故选D.【点睛】本小题主要考查线线、线面平行和垂直命题真假性的判断，考查线面垂直的性质定理，属于基础题.12．等差数列{an}中，a2+a5+a8=12，那么函数x2+（a4+a6）x+10零点个数为（      ）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】根据等差数列的性质求得的值，根据判别式判断出函数零点的个数.【详解】根据等差数列的性质只，，故二次函数对应的判别式，所以函数有两个零点，故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列的基本性质，考查二次函数零点和判别式的对应关系，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.  二、填空题13．某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则为         　．【答案】9【解析】先根据果蔬类抽取的种类数计算出抽样的比例，乘以食品总的种类数得到样本容量.【详解】由果蔬类抽取种可知，抽样比为，故.【点睛】本小题主要考查分层抽样的知识和计算，考查运算求解能力，属于基础题.14．圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则其圆心坐标是___________，半径是___________．【答案】（–1，–2）        【解析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．【详解】圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，即（x+1）2+（y+2）2=5，∴其圆心坐标位（–1，–2），半径为，故答案为：(1). （–1，–2）    (2). .【点睛】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．15．直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是_____________．【答案】【解析】根据点斜式写出直线方程，并化为一般式.【详解】由直线方程的点斜式得，化简得.【点睛】本小题主要考查直线方程点斜式，考查点斜式转化为一般式，属于基础题.16．若实数x，y满足，则y的最大值是__________．【答案】2．【解析】画出可行域，根据图像判断出的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，的最大值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查可行域的画法，属于基础题. 三、解答题17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，利用中位线定理以及线面平行的判定定理，即可证明；（2）先利用线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质得出BC⊥DE， DE⊥PB，最后利用线面垂直的判定定理得出PB⊥平面DEF.【详解】证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC的中点又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE∴PA∥平面BDE.（2）PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD∴PD⊥BC∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC∵PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC∴BC⊥平面PDC∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC∵PC∩BC＝C，PC ⊂平面PBC，BC ⊂平面PBC∴DE⊥平面PBC，PB⊂平面PBC∴DE⊥PB又∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF∴PB⊥平面DEF.【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及证明线面垂直，属于中档题.18．等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.因为所以.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝＝，所以Sn＝19．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若.（1）求角C的大小；（2）若的面积为，c=，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得a2+b2-c2=ab，再用余弦定理可得cosC,即可求得C；（2）由面积公式可得ab=8，再结合余弦定理求得a+b=6，相加可得周长．【详解】（1）由及正弦定理，得a2+b2-c2=ab， 由余弦定理得，∵，∴.（2）由（1）知.由的面积为得，解得ab=8，由余弦定理得，∴(a+b)2=36，a+b=6，故的周长为.【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用和三角形的面积公式，属中档题．20．已知圆C的圆心C在直线上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为.（1）求圆C的标准方程；（2）直线l过点 且与圆C相交于A，B两点，求弦长的最小值及此时直线l的方程.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）结合直线的方程设出圆心坐标以及半径，根据两点间距离公式以及题设条件，即可得出圆C的标准方程；（2）当直线的斜率不存在时，得出直线的方程，根据方程得出，当直线l的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式以及弦长公式得出，进而得出弦长的最小值以及直线的方程.【详解】（1）由题可设圆心，半径r∵.又∵圆C与x轴正半轴相切∴圆C的标准方程：（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时弦长②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：点C到直线l的距离，则弦长当k＝0时，弦长取最小值此时直线l的方程为.由①②知当直线l的方程为时，弦长取最小值为.【点睛】本题主要考查了求圆的标准方程以及弦长公式的应用，属于中档题.21．已知函数，.（Ⅰ）若为偶函数，求的值并写出的增区间；（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；（Ⅲ）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；增区间.(2) 的最小值为，取“”时.(3) .【解析】分析：（Ⅰ）由偶函数的定义得，求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定的增区间；（Ⅱ）根据已知条件结合韦达定理，求得的值.再化简整理的表达式，结合和基本不等式即可得到答案.（Ⅲ）先求出区间上，再将不等式恒成立，转化为上恒成立问题，构造新函数，得恒成立，分类讨论求得参数的值.详解：解：（Ⅰ）为偶函数，               ，即，解得.            所以，函数，对称轴，增区间（Ⅱ）由题知∴又∵，∴∴，即的最小值为，取“”时（Ⅲ）∵时，∴在恒成立记，（）①当时，由，∴②当时，由，∴③当时，由，综上所述，的取值范围是点睛：本题主要考查单调性和奇偶性，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，准确把握常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想是解题关键.