2023届四川省成都市树德中学高三上学期入学考试数学（文）含答案

树德中学高2020级高三开学考试

（文科数学）

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合,，则（）

A.  B.  C.  D.

2. （）

A.  B.  C.  D.

3.航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，，，则（）

A. 6 B. 5 C. 8 D. 7

5. 已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 若圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）

A.  B.  C.  D.

7. 函数的图象大致是（）

A.  B.

C.  D.

8. 已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，设，，，则（）

A.  B.  C.  D.

10. 已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（）

A.  B.  C.  D.

11. 在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：

①CN与QM共面；②三棱锥A－DMN的体积跟的取值无关；

③当时，AM⊥QM；

④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为．

其中正确的是（）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

12. 若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（）

A.  B.  C.  D.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若实数，满足，则的最大值为___________．

14. 已知，则___________.

15. 已知数列满足，，，则数列的前项和为__________．

16. 已知是双曲线的右焦点， 是轴正半轴上一点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点.若点三点共线，且的面积是面积的7倍，则双曲线的离心率为__________.

三､解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）

17. 在非直角中，角，，对应的边分别，，，满足.

（1）判断的形状；

（2）若边上的中线长为2，求周长的最大值.

18.  某小区物业为了让业主有一个良好的居住环境，特制定业主满意度电子调查表，调查表有生活服务､小区环境等多项内容，将每项内容进行分值量化，调查表分值满分为100分.物业管理人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如下.

（1）根据频率分布直方图填写各分值段的业主人数表（不必说明理由）：

（2）在选取的100位业主中，男士与女士人数相同，规定分值在70分以上为满意，低于70分为不满意，据统计有32位男士满意.请列出列联表，并判断是否有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”？

（3）在（2）条件下，物业对满意度分值低于70分的业主进行回访，用分层抽样的方式选出8位业主进行座谈，并从中随机抽取2人为监督员，求恰好抽到男女各一人为监督员的概率.

附：，其中.

19. 如图，是边长为的等边三角形，分别在边上，且，为边的中点，交于点，沿将折到的位置，使.

（1）证明：平面；

（2）若平面内的直线平面，且与边交于点，是线段的中点，求三棱锥的体积.

20. 已知点A，B分别为椭圆左、右顶点，，为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上异于A，B的一个动点，的周长为12．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知点，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上．

21. 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，判断的符号，并说明理由.

①，；②，.

22. 在平而奁角坐标系xOy中，曲线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线和的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上一点､M，N分别是和上的点，求的最大值.

23. 已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.

树德中学高2020级高三开学考试

（文科数学）答案

一､选择题

1. C

2. B

3. A.

4. D

5. B

6. D.

7. A

8. B

9. A

10. D.

11. B．

12. B.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 6

14.

15.

16. .

三､解答题（共70分，

17.（1）解，

，

可得．

即

根据正弦定理，得．代入式，化简得．

即，为外接圆的半径）

化简得，或，即或，又非直角，

因此是等腰三角形．

（2）解在△ABD和△ABC中，

由余弦定理可得，又，

所以，所以，设，，，

所以△ABC的周长2a+ c=，

所以当时，2a+ c有最大值为,

即△ABC周长的最大值为.

18.  （1）解根据频率分布直方图知，分值在区间，，，，，内

的频率分别为：0.12，0.16，0.20，0.24，0.18，0.10，

各分值段的业主人数为：

（2）解由(1)及已知得列联表如下：

的观测值为：，

所以有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”.

（3）解】由(2)知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位女士30位，用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位女士5位，

记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，从中随机抽取两位为监督员事件为：，

共计28个基本事件，其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.

19. （1）为等边三角形，为中点，，；

，即，，，，

则在中，，，，

，即；

，为中点，又，；

，平面，平面.

（2）解连接，过在平面上作交于点，

平面，平面，平面，

此时四边形为平行四边形，，，

即三棱锥的体积为.

20.（1）解：设椭圆的焦距为2c，则，，，

，，由得，即

由的周长为12，得，所以，，

，故椭圆E的方程为：

（2）解：设直线PQ的方程：，，

（此处若设点斜式方程，需要讨论斜率是否存在，无讨论的扣1分，只讨论斜率不存在的情况给1分）

联立方程组得，

恒成立．

，即①

直线AP的方程：，直线的方程：，

联立方程组消去y，得②

由①②得

所以，当点P运动时，点N恒在定直线上．

方法二

设，，

设直线AP的方程：，直线BQ的方程：

联立得①

又∵P，Q两点在椭圆E上，

因此，，②，

故P，M，Q三点共线，所以，

即③由②，③得

将其代入①得所以，当点P运动时，点N恒在定直线上

21.（1）解，

令，则x=a或ln2，若，，所以函数在R上为增函数；

若，当或时，，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减；

若，当或时，，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减；

综上所述，当时，函数在R上增函数；

当时，函数在和上递增，在上递减；

当时，函数在和上递增，在上递减；

（2）解选①，当，时，

由（1）知在上递增，在上递减，所以，

令，则，

当时，，得函数在上单调递增，

所以，即，则，

所以，所以.

选②，当，时.由（1）得时，在上递减，在上递增，

又，，

所以当时，，所以.

22.解：（1）由曲线的方程为（为参数），消去参数可得曲线的方程为，由曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，且，

可得曲线直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程.

（2）由（1）知双曲线，则，，可得，

所以，，由双曲线的定义，可得，

因为点是曲线上一点、分别是和上的点，

可得，，

所以，所以的最大值为.

23. 解（1）当时，原不等式可化为.

①当时，，解得：，；

②当时，，解得：，；

③当时，，解得：，；

综上所述：不等式的解集为或.

（2）由知：，

，在上恒成立，

，即，，解得：，

，解得：，即实数的取值范围为.