北师大版九年级数学上学期期中测试调研卷（B卷）

2022-2023学年北师大版九年级数学上学期期中测试调研卷

（B卷）

【满分：120分】

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是(   )

A. B. C. D.

2.欧几里得的《几何原本》记载，方程的图解法如下:画，使，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是(   )

A. 的长 B. 的长 C.的长 D. 的长

3.如图，直线，直线AC分别交直线、、于点A、B、C，直线DF分别交直线、、于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是(   )

A. B. C. D.

4.距期末考试还有20天的时候,为鼓舞干劲,班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言,小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言,请问该学习小组共有学生(   )

A.4人 B.5人 C.6人 D.7人

5.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是(   )

A. B. C. D.

6.如图，菱形ABCD中，，于E，交AC于F，于G，若的周长为4，则菱形ABCD的面积为(   )

A. B. C.16 D.

7.已知实数x满足，那么的值是(   )

A.1或-2 B.-1或2 C.1 D.-2

8.某小组做“用频率估计概率”的试验时,绘出的某一结果出现的频率折线图,则符合这一结果的试验可能是(   )

A.抛一枚硬币,出现正面朝上

B.掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃

D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球

9.如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在AD，BC边上，，，AF与BE相交于点O，连接OC.若，则OC与EF之间的数量关系正确的是(   )

A. B. C. D.

10.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数解的概率为(   )

A. B. C. D.

11.如图，在矩形ABCD中，，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F.下列结论：

①四边形AECF是菱形；

②；

③；

④若AF平分，则.

其中正确结论的个数是(   )

A.4 B.3 C.2 D.1

12.如图,正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将绕着点D顺时针旋转45°得到，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.则下列结论：

①四边形AEGF是菱形；

②的面积是；

③；

④.

其中正确的结论是(   )

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

二、填空题：（每小题3分，共18分）

13.定义新运算:是实数,.若是方程的两根,则________.

14.为庆祝新中国成立70周年，河南省实验中学开展了以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，九年级准备从两名男生和两名女生中选出两名同学领唱，如果每一名同学被选中的机会均等，则选出的恰为一名男生和一名女生的概率是_______.

15.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，，，则_______；若的面积等于1，则AB的值是________.

16.如图,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米.现已知购买这种铁皮每平方米需10元,问张大叔购回这张矩形铁皮共花了_______________元.

17.如图，已知菱形ABCD的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于___________.

18.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，，，G，H为垂足，连接GH.若，，，则GH的最小值是______.

三、解答题（本大题共8小题，共计66分，解答题应写出演算步骤或证明过程）

19.（6分）如图，在中，，CD是AB边上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.

求证：四边形ADCE是菱形.

20.（6分）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》.赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）.现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好.

（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为_______；

（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率.（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）

21.（8分）用总长700 cm的木板制作矩形置物架(如图),已知该置物架上面部分为正方形,下面部分是两个全等的矩形和矩形,中间部分为矩形.已知,设正方形的边长.

(1)当时,的长为_______cm;

(2)置物架的高的长为_______cm(用含x的代数式表示);

(3)为了便于置放物品,的高度不小于26 cm,若矩形的面积为,求x的值.

22.（8分）某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘如图所示，并规定：顾客一次购物满100元就能获得次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指在哪个区域就可以获得相应的奖品（若指针指在两个区域的交界处，则重新转动转盘）.下表是此次促销活动中的组统计数据：
 

（1）计算并完成上述表格；
（2）当n很大时，请估计频率将会接近多少？假如转动该转盘一次，获得“可乐”的概率约是多少？（结果精确到0.1）
（3）在该转盘中，表示“车模”区域的扇形的圆心角约是多少？

23.（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作交OE的延长线于点F，连接DF.

（1）求证：；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程.

24.（8分）如图,在中,对角线与相交于点O,点分别为的中点,延长至点G,使,连接.

(1)求证:.

(2)当与满足什么数量关系时,四边形是矩形?请说明理由.

25.（10分）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了这类方程的一般性结论：设其中一个根为t，另一个根为2t，则，所以有.我们记“”，则时，方程为倍根方程.下面我们根据此结论来解决问题：

（1）方程①，方程②中，是倍根方程的是____________（填序号即可）；

（2）若是倍根方程，求的值；

（3）若关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程.

26.（12分）如图，已知四边形ABCD是正方形，，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG.

（1）求证：四边形DEFG是正方形；

（2）求的最小值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：四边形ABCD和四边形EFGH相似，，，，.故选A.

2.答案：C

解析：在中,由勾股定理可得,,，与方程相同,且的长度为正数,∴的长是方程的一个正根.故选C.

3.答案：C

解析：，，A中结论正确，不符合题意；，B中结论正确，不符合题意；，C中结论错误，符合题意；，，D中结论正确，不符合题意.故选C.

4.答案：C

解析：设该学习小组共有学生x人,则每人需写份拼搏进取的留言,依题意得,整理得,解得(不合题意,舍去).故选C.

5.答案：C

解析：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”分别用字母A，B，C，D表示，根据题意列表如下.

由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，故所求概率为.

6.答案：B

解析：菱形ABCD中，，

，

于E，于G，

与是等腰直角三角形，

，，

，

，

，，

设，

，

的周长为4，

，

，

，

，

菱形ABCD的面积，

故选B.

7.答案：D

解析：

，

，

或，

由得，由于，此方程无解，

.

故选：D.

8.答案：D

解析：由图可知,该试验的频率在0.2~0.4之间,稳定于0.35附近.

A.抛一枚硬币,出现正面朝上的概率为0.5,故A选项不符合题意;

B.掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上的概率为,故B选项不符合题意;

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为,故C选项不符合题意;

D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球的概率为,故D选项符合题意.

9.答案：A

解析：过点O作于点M，

，
四边形ABCD是矩形，
，
，，
，
四边形ABFE是正方形，
，，
，
，
，
由勾股定理得，
，故选：A.

10.答案：C

解析：方程有实数解，

，.

画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中使方程有实数解，即使的结果有6种，关于x的一元二次方程有实数解的概率为，故选C.

11.答案：B

解析：根据题意知，BF垂直平分AC，

在和中，，

，

，

，

即四边形AECF是菱形，故①结论正确；

，，

，

，故②结论正确；

，

故③结论不正确；

若AF平分，则，

，

，

，故④结论正确；

故选：B.

12.答案：B

解析：四边形ABCD是正方形，，，.

由旋转得到，，

在和中，，，，

同理，，四边形AEGF是菱形，①正确，，③错误.
根据题意可求得，
在等腰直角三角形EGB中，可求得，故，所以，即可得的面积是，②正确.
由①的证明过程可得，所以，即可得，④正确.
综上，正确的结论为①②④.故选B.

13.答案：0

解析：是方程的两根，，即，，故答案为0.

14.答案：

解析：把男生编号为A,B，女生编号为1,2可能出现的所有结果列表如下：

由表知，共有12种可能的结果，

且每种结果的可能性相同，

其中选出的恰为一名男生和一名女生的结果有8种，

则P（选出的恰为一名男生和一名女生）.

15.答案：60，

解析：四边形ABCD为正方形，，.又，，，.过点E作于点M，则，，解得（负值已舍去），.

16.答案：350

解析：设此长方体箱子的底面宽为x米,则长为米.依题意得,整理得,解得, (不合题意,舍去),∴矩形铁皮的长为3+2+2=7(米),宽为3+2=5(米),∴购回这张矩形铁皮的费用为7×5×10=350(元).故答案为350.

17.答案：

解析：点E为AB的中点，.如图，过点C作AB的垂线，垂足为点H.在菱形ABCD中，，，，，.连接BF，，，，，.连接BD，则是等边三角形，，，点G是AF的中点，.

18.答案：8

解析：连接AC、AP、CP，如图所示：

四边形ABCD是矩形，

，，

P是线段EF的中点，

，

，，

，

四边形PGCH是矩形，

，

当A、P、C三点共线时，CP最小，

GH的最小值是8，

故答案为：8.

19.答案：证明见解析

解析：证明：，，

四边形DBCE是平行四边形.

，且.

在中，CD为AB边上的中线，

.

.

四边形ADCE是平行四边形.

.

.

，

.

平行四边形ADCE是菱形.

20.答案：（1）

（2）

解析：解：（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6种，

这两个班抽到不同卡片的概率为.

21.答案：(1)35

(2)

(3)75

解析：∵矩形和矩形全等,.若,则,.

(1)当时,.故答案为35.

(2)依题意得.故答案为.

(3)依题意得,整理得,解得.的高度不小于26 cm,即,不合题意,舍去.答:x的值为75.

22.答案：（1）完成表格如下:

（2）根据（1）中表格，知当n很大时，频率将会接近0.6.
用频率估计概率，知获得“可乐”的概率约是0.6.
（3）由（2）可知获得“车模”的概率约是0.4，
所以表示“车模”区域的扇形的圆心角约是.

23.答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1）证明：点E是CD的中点，
，
又
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
，
，
又，
四边形ODFC为平行四边形，
又四边形ABCD为菱形，
，
即，
四边形ODFC为矩形.

24.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明:∵四边形是平行四边形,

.

∵点分别为的中点,

.

在和中,.

(2)解:当时,四边形是矩形.理由如下:

.

是的中点,.

同理,,即.

是的中位线,

,即四边形是平行四边形.

四边形是矩形.

25.答案：解：（1）方程①中，；

方程②中，.

是倍根方程的是②.

故答案为②.

（2）整理得，

是倍根方程，

，

.

（3）是倍根方程，

，整理得.

在一次函数的图象上，

，，，

此倍根方程为.

26.答案：（1）证明见解析

（2）32

解析：（1）证明：如图，过点E作于点M，作于点N，

四边形ABCD为正方形，

，，

，且，

四边形EMCN为正方形，

，，

，

四边形DEFG是矩形，

，

，

，

在和中，，

，

，

矩形DEFG为正方形.

（2）如图，连接EG，

四边形ABCD为正方形，，

，，，

，

矩形DEFG为正方形，

，，

，

，

在和中，，

，

，，

，

，

由垂线段最短可知，当时，DE取得最小值，最小值为，

的最小值为.