北京版四年级上册2.商不变的性质教案

《商不变的性质》教学设计

一、教学背景分析

（一）教材分析

“商不变的性质”是在学生已经学习并掌握了“积的变化规律”的基础上进行教学的，同学们在探究“积的变化规律”的过程中初步体会了“变与不变”的数学思想。本节课在于让学生发现除法运算中“商不变的性质”这一重要规律，并为今后学习小数除法、分数除法、分数基本性质等内容奠定理论基础。

（二）学情分析

在课前对学生的调研中发现，少部分学生在计算的过程中已经能发现一些计算性质，有的已经能发现并尝试运用了“商不变的性质”。但是，学生在运用此性质计算的过程中总是出现错误，对于“商不变的性质”的内容及其探索过程都还没有一个明确的认识。

（三）我的思考

基于上述分析，可以认为本节课不仅要使同学们理解商不变的性质，更要教会同学们商不变的性质的探索过程。在教学过程中注意以学生原有的知识经验为基础，引导学生运用“积的变化规律”中“变与不变”的数学思想猜想出“商不变的性质”的内容。教师要在接下来的教学过程中鼓励同学们进行大胆验证、归纳概括，最后总结反思，从而体会数学规律探索的过程。

二、教学目标与重难点

1 经历商不变的性质的探索过程，能用数学的语言进行描述，理解并应用商不变的性质进行简算。

2 在自主建构新知的过程中，形成新旧知识间的联系，获得探索规律的方法与经验，渗透“变与不变”的数学思想。

3 通过自主探索、合作交流，感受探索与运用数学规律的趣味性，体会数学学科的独特魅力。

重点：商不变性质的理解。

难点：商不变性质的探索及运用。

三、教学过程

（一） 回忆旧知，引发思考

1复习导入

师：同学们，我们学习了乘法并且探索了“积的变化规律”，请你根据6×4=24，计算6×40=?，并说说你是怎么想的？（教师板书：6×4=24，6×40=）

生：因为6×4=24，那么6×40。因数6没有变，另一个因数由4变为40是因为乘10，所以积也应该乘10。所以6乘40等于240.

师：那6×20=？，也说说你是怎么想的？(板书：6×20=)

生1：因为6×40=240，那么6×20。一个因数没变，另一个因数除以2，所以积也应该除以2，240除以2等于120。所以6乘20应该等于120.

师：还有同学有不同的想法吗？

生2：我是通过比较第一个式子和第三个式子得出的。因为6×4=24，那么6×20。一个因数没变，另一个因数乘5，那么积也应该乘5。24乘5等于120，所以6乘20等于120.

2规律回顾

师：同学们运用积的变化规律回答得非常正确。那么同学们能不能说出积的变化规律是什么呢？（教师板书：积的变化规律）

生1：在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也随着乘（或除以）相同的数。

师：下面再请一位同学说一下。

生2：……   （教师板书：积的变化规律内容）

师：在积的变化规律中，因数、因数与积这三个数究竟是哪些不变，哪些变化呢？

生：在这三个数中，其中的一个因数不变，另一个因数和积发生变化。

生：……   （教师板书：不变、变、变）

【设计意图】建构主义学习观认为，一切新的学习都是建立在以前学习的基础上，或在某种程度上利用以前的学习。本环节让学生回忆“积的变化规律”的过程，不但可以了解学生的知识基础，还可以唤起学生学习探索规律的方法，为接下来“商不变的性质”的学习奠定基础。

（二） 驱动建构，形成新知

1提出问题

师：这一节课，我们大家一起来探究“商不变的性质”（板书：商不变的性质）。关于商不变的性质，你想知道什么呢？

生1：商不变的性质是什么？

生2：商不变的性质有什么用处呢？

生3：……   （教师板书：内容、作用） 

【设计意图】发现并提出问题往往比解决问题更重要，引导学生提出有价值的问题。教师要培养学生的问题意识，引导学生带着问题去探究、去发现，在探索规律的过程中会更有针对性。

2引发猜想

师：在刚刚回忆的积的变化规律中，一个因数不变，另一个因数和积变化。那么在商不变的性质中，请同学们猜想谁变谁不变呢？

生：商不变，被除数和除数变。

师：那根据同学们猜想的变与不变，请同学们进一步猜想商不变的性质是什么呢？先自己独立猜想，然后把你们的猜想在小组里说一说。（小组讨论交流，教师在组间解疑释难。）

生：我代表我们小组汇报。我们猜想的“商不变的性质”是被除数和除数同时变大（或变小），商不变。

师：同学们觉得猜想合理吗？有哪位同学说说你的观点？

生：我觉得猜想不合理。比如4÷2=2，如果按照刚才的猜想，4变成20是变大了，2变成5也是变大了。而20÷5=4，他们的商变了。因此我觉得被除数和除数应该变大（或变小）相同的数才行。

师：刚刚的猜想确实不太合理，你们小组的猜想是什么呢？

生：我们小组是根据刚刚复习的“积的变化规律”内容进行猜想的，猜想的“商不变的性质”的内容是被除数和除数同时乘或同时除以一个相同的数（0除外），商不变。

师：对于他们小组的猜想，同学们你们赞同吗？

生：赞同。

【设计意图】“猜想-验证”是数学学习过程中的重要方法，要让学生懂得猜想要有依据，不能毫无根据地猜想。教师要善于引导学生利用以前的知识经验、学习经验和生活经验来进行新知的学习，感受数学的科学性与严谨性。

3验证推理

（1）利用24÷4=6，进行验证

师：以上“商不变的性质”内容是经过同学们的猜想而得到的，那猜想的内容究竟成立不成立呢，我们还必须经过验证的过程。请同学们在课前下发的学习单上（图1），利用24÷4=6，进行验证。（学生验证，教师巡视，发现问题及时处理。）

图1

师：哪位同学想把自己的验证过程与大家分享？

    生1：我们将被除数和除数同时乘10，算式变成了240÷40，结果等于6，商不变。

    生2：我们将被除数和除数同时乘2，算式变成了48÷8，结果仍等于6，商不变。

    生3：我们将被除数和除数同时除以2，算式变成了12÷2，结果仍等于6，商不变。

    ……

（2）自己写算式进行验证

师：24÷4=6能够验证大家所猜想的“商不变的性质”是成立的，接下来请同学们在任务学习单（图2）上自己写出一个除法算式，对所猜想的“商不变的性质”进行验证。（学生验证，教师巡视，发现问题及时处理。）

图2

    师：下面请同学们说一说你写的是哪个算式？怎样进行验证的？结论又是什么？（选择3-4人随机汇报）

    生：我写的算式是20÷10=2，我把被除数20和除数10同时乘2，变成了40÷20，最后结果商还是等于2。我又把被除数20和除数10同时除以5，变成了4÷2，商还是等于2。我得到的结论是在除法算式中，被除数和除数同时乘或同时除以一个相同的数，商不变。

……

小组内相互交流不一样的算式，体会“商不变的性质”的普遍性。（教师板书商不变的性质内容，先不板书“0除外”三个字）

【设计意图】虽然规律已经初现，但是否具有普遍性，还需要放手让学生举出大量的例子进行说明和验证。这个环节让同学们体会在规律探索中合情推理的特点——由特殊到一般。

（3）“0除外”的处理

师：（继续追问）被除数、除数同时乘或者除以的这个数是几都行吗？

生：0不能作除数，所以不能除以0.

生：我认为乘0也不行，因为要是乘0的话，除数就得0啦，除数不能是0.（教师板书：0除外）

4归纳概括

师：同学们，那么“商不变的性质”的正确表述应该是……

生：被除数和除数同时乘或同时除以一个相同的数（0除外），商不变。

    师：大家经过“猜想-验证”，最后终于探索出了商不变的性质，请同学们打开数学书，看看书上是怎么表述的。

师：你们研究的结论和专家研究的结论是一致的，同学们太了不起啦！同学们接着思考，你认为在商不变的性质的表述中哪些是关键词呢？请同学们在自己的书上标示出来。

学生：同时、相同、0除外。 （教师板书，用红色粉笔将“同时”、“相同”、“0除外”圈画。）

此环节，教师要适时处理“（240÷2）÷（40÷2）=6”等写法（图3），使学生了解商不变性质的多种表示形式，从而进一步体会商不变的性质。

图3

【设计意图】“猜想-验证-归纳、概括”是数学学习的重要过程，对于学生猜想、验证后的规律和结论，要让学生进行及时地归纳和概括，并提炼其中的关键信息，从而培养学生有序思考的习惯，进一步感受数学的科学与严谨。

5回顾研究过程

师：现在回过头来思考，我们是怎样一步步地得出商不变的性质的？

生：我们首先回忆复习“积的变化规律”，然后由“积的变化规律”猜想“商不变的性质”。接着运用大量的算式验证商不变的性质，最后归纳概括出商不变的性质。

【设计意图】不但“猜想-验证-归纳概括”是数学学习的重要过程，反思也是学生重要的学习过程。加强反思、培养反思习惯对学生的学习与成长都有着重要的意义。

6巩固练习，自主运用

师：同学们通过做任务学习单的第四题（图4），知道“商不变的性质”可以用来简算。（教师板书：简算）

图4

【设计意图】应用商不变的性质，能够把复杂的问题变简单，进一步体会商不变性质的作用，渗透“化繁为简”的数学思想。

（三）对比建构，实现关联

师：请同学们看黑板，对比“商不变的性质”和“积的变化规律”，你有什么想法呢？

生：我发现“商不变的性质”和“积的变化规律”之间是有联系的，它们都是两个变一个不变。

生：除法算式中的商乘以除数等于被除数，乘法算式中因数乘因数等于积，因此“商不变的性质”中的被除数与“积的变化规律”中的积具有关联性，一个因数不变和商不变也具有关联性。

【设计意图】在学生自主探索“商不变的性质”的基础上，进一步引导学生探究发现“商不变的性质”和“积的变化规律”之间的联系，认识乘除法之间的关联性，头脑中建立起数学网状的知识体系。

（四）课堂小结，关注发展

（过程略）

四、板书设计

商不变的性质                 积的变化规律

联系      

不变    变      变           变      变      不变

24   ÷ 4     =  6           6  ×   4      =24

240  ÷ 40    =  6           6  ×   40     =240

120  ÷ 20    =  6           6  ×   20     =120

        内容：被除数和除数同时乘         在乘法里，一个因数不变，

            或除以一个相同的数       另一个因数乘（或除以）几

（0除外），商不变。      （0除外），积也随着乘（或

除以)相同的数。

作用：                    简算

五、教学反思

本节课，教师在充分理解教材的基础上，巧为设计，以联系为魂，以建构为主线，突出了新旧知识之间的“联系”与“建构”，这样既关注了学生新知识的习得，又有助于学生探究能力的提高。

联系是魂，交错成网。数学是一门逻辑性很强、前后知识联系很紧密的学科，然而对于学生而言，他们可能不能很快地、很精准地感受到这种联系。教师需要为学生在这些有着内在联系却又零散的知识之间架构起桥梁，使学生思维能够顺利地衔接起来，从而形成新旧知识之间的联系。在本节课中，乘除法之间本身存在一定的关联性，引导学生实现了新知识“商不变的性质”与旧知识“积的变化规律”之间的关联，这对于学生新知识的学习无疑具有很大的推动作用。

建构为线，环环相扣。在本节课的教学过程中，学生经历了“回忆-猜想-验证-归纳概括-对比”的学习过程，这些也往往是学生利用旧知，建构新知的重要步骤，有助于培养学生在以后的学习过程中发现规律、探索规律、归纳概括规律的探究意识。