2021学年5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂达标检测题

这是一份2021学年5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂达标检测题，文件包含函数专题抽象函数及其性质的5种考法-题型分类归纳2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练人教A版2019必修第一册解析版docx、函数专题抽象函数及其性质的5种考法-题型分类归纳2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练人教A版2019必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
函数专题：抽象函数及其性质的5种考法 一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式. 题型一 求抽象函数的函数值【例1】定义在上的函数满足，，则等于______．【答案】2【解析】∵，，∴令，得，再令，，得，∴，∴．故答案为2.  【变式1-1】设函数满足，且对任意、都有，则（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】对任意、都有，且，令，得，令，可得，，因此，，故选：A.  【变式1-2】设函数满足，且对任意，都有，则=_________.【答案】2021【解析】令，得，令得，即，所以，所以.  【变式1-3】满足对任意的实数a，b都有，且，则（    ）A．2016        B．2020        C．2013        D．1008【答案】A【解析】由，，令可得：，所以：故选：A.  【变式1-4】已知定义在R上的函数满足对任意实数x，都有，且，则________．【答案】2021【解析】由题意，函数满足对任意实数x，都有，且，当且时，可得，则，所以．故答案为：.  题型二 求抽象函数的解析式【例2】已知函数对于一切实数、都有成立，且．（1）求的值；（2）求的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）令，，因为，，所以，即；（2）因为，令，则，所以.  【变式2-1】已知，对于任意实数、，恒成立，则的解析式为_________.【答案】【解析】令，则有，再令，则.  【变式2-2】已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为_____．【答案】【解析】令，则所以由可得因为，所以故答案为：  【变式2-3】对任意实数，，都有，求函数的解析式．【答案】【解析】方法一：对任意实数,都成立,令,得,再令,得, 方法二：在已知式子中,令,得,,,令,得  【变式2-4】已知函数对一切的实数，，都满足，且.（1）求的值；（2）求的解析式；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）令则（2）令则；  题型三 证明抽象函数的单调性【例3】已知函数对∀x，y∈R，都有，当时，，证明函数在R上的单调性.【答案】函数为R上的减函数【解析】不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．  【变式3-1】已知定义在R上的函数，当时，，且对任意的a，b∈R，有.（1）求的值；（2）根据定义证明是增函数；【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）（1，8].【解析】（1）令a=b=0，则f(0)=f(0)•f(0)，解得f(0)=0，或f(0)=1，若f(0)=0，令a>0，由题意得f（a）>1，当f(a+0)=f(0)•f(a)=0，矛盾，故f(0)=0不成立，显然f(0)=1，满足，故f(0)=1即为所求；（2）证明：由（1）知，f(0)=1，令x<0，则－x>0，所以由已知得f(0)=f(x－x)=f(x)•f(－x)=1，则，故x<0时，0<f(x)<1，设0<x1<x2，令a+b=x2，b=x1，则a=x2－x1>0，所以f（x2）=f（x2－x1）•f（x1），可得，所以f(x2)>f(x1)>1=f（0），即f(x)在（0，+∞）上单调递增；任取x1<x2<0，则－x1>－x2>0，由上可知，f(－x1)>f(－x2)>1，即，所以f(x1)<f(x2)<1=f(0)，综上所述，对任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)恒成立，故y=f(x)是增函数.  【变式3-2】定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；② 当时，；③ （1）求和的值；（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；（3）求满足的的取值集合．【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）得，则，而， 且，则；（2）取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．（3）由条件①及（1）的结果得，，，，，解得，故的取值集合为.  【变式3-3】已知函数对任意的，，都有，且当时，（1）判断并证明的单调性；（2）若，解不等式．【答案】（1）函数在上为增函数；（2）．【解析】（1）设是上任意两个不等的实数，且，则， ，由已知条件当时，，所以，即，所以函数在上为增函数；（2），∴，∴，∴，∴．  【变式3-4】设函数的定义域为R，并且满足，且当时，（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明；（3）如果，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）函数是定义在上的减函数，详见解析；（3）.【解析】（1）令，则，∴；（2）函数是定义在上的减函数，设，且，则，∴，∵当时，∴，即∴，∴函数是定义在上的减函数；（3）∵∴,又，∴，∴函数是奇函数，∵，∴，∴，又函数是定义在上的减函数，∴，即，∴的取值范围为.  题型四 证明抽象函数的奇偶性【例4】已知函数对∀x，y∈R，都有，证明函数在R上的奇偶性.【答案】为奇函数【解析】因为函数的定义域为R，令，所以，即，令，所以，即，所以函数为奇函数．  【变式4-1】已知函数对一切实数都有成立， 且.（1）分别求和的值；（2）判断并证明函数的奇偶性．【答案】（1），；（2）是奇函数，证明见解析.【解析】（1）因为函数对一切实数都有成立，，所以当时，即，令可得，所以，即（2）令可得，所以，所以，即，，所以函数是奇函数.  【变式4-2】已知函数满足，当时，成立，且．求，并证明函数的奇偶性；【答案】，证明见解析；【解析】令，可得，令，则，所以，所以，所以为奇函数.  【变式4-3】若对于任意实数，函数，都有，求证：为偶函数.【解析】令，得，令，得，所以，即，所以是偶函数.  题型五 求抽象函数的值域【例5】定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（    ）A．R        B．        C．        D．【答案】C【解析】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，令，可得，再令，可得，又在上的值域为，因此在上的值域为则在R上的值域是.故选：C  【变式5-1】函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.（1）求，的值；（2）判断的单调性并加以证明；（3）求在，上的值域.【答案】（1）f (1)=1，f (4)=3；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.【解析】（1）可令时，=-；令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；（2）函数在上为增函数.证明：当时，有，可令，即有，则，可得，则在上递增；（3）由在上为增函数，可得在递增，可得为最小值，为最大值，由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，则的值域为.   【变式5-2】已知函数对于任意实数总有,当时, .求在上的最大值和最小值.【答案】在上的最大值和最小值分别为和【解析】任取且,则,由时,,得,由,得,所以在上是减函数； 令可得,令可得,令得,解得,令可得,由单调性可得在上的最大值和最小值分别为和.  【变式5-3】已知函数对任意实数，，均有，且当时，，，求在区间上的值域．【答案】【解析】设，则，∵当时，，∴，∵，∴，即，∴为增函数在条件中，令，则，再令，则，∴，故，为奇函数，∴，又，∴的值域为．