2023届高考数学一轮复习测试调研卷（新高考Ⅰ卷地区使用）

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2023届高考数学一轮复习测试调研卷（新高考Ⅰ卷地区使用）【考试时间：120分钟】【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，，则(   )A.  B.C.  D.2.已知复数z满足，则(   )A. B. C. D.3.已知在中，动点C满足，其中，且，则的最小值为(   ).A. B. C. D.4.若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为(   ).A. B. C. D.145.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(   )A. B. C. D.6.设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为，则函数的单调增区间为(   )A. B.C. D.7.已知表示a，b，c中的最大值，例如，若函数，则的最小值为(   )A.2.5 B.3 C.4 D.58.已知四棱锥中，底面是矩形，且，侧棱底面，若四棱锥外接球的表面积为，则该四棱锥的表面积为(   )A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.设函数的导函数为，则下列结论中正确的是(   )A.  B.是的极值点C.存在零点  D.在区间上单调递增10.如图，在正五棱柱中，为的中点，分别为上两动点，且，则(   )A.B.三棱锥的体积随点M的位置的变化而变化C.当N为的中点时，平面D.直线与平面所成角的正切值最大为11.已知定义域为R的奇函数，当时，，则下列结论正确的是(   )A.对任意且，恒有B.对任意，恒有C.函数与的图象共有4个交点D.若的最大值为-1，则12.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（   ）A.抛物线的方程是B.抛物线的准线方程是C.的最小值是D.线段AB的最小值是6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若的展开式中的系数为9，则a的值为____________.14.过直线上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为_____________.15.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.16.已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项.（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在整数t，使得对任意的正整数n均有成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由.18.（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若点D在边BC上，且，求的面积.19.（12分）如图，在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中.将沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使.(1)求证：平面平面ABCD；(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值.20.（12分）2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)： 长穗短穗总计高杆341650低杆104050总计4456100(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？(参考公式：，其中)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).21.（12分）已知，分别是双曲线的左、有焦点，，P是C上一点，，且.（1）求双曲线C的标准方程.（2）经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作（O为坐标原点），垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数，e为自然对数的底数.(1)求函数的极值；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
答案以及解析1.答案：A解析：因为或，，所以或.2.答案：B解析：由得，所以，故选B.3.答案：C解析：由题意可得A，B，C三点共线，且点C在线段AB上，于是，且m，，所以，当且仅当，即，时取等号，故选C.4.答案：C解析：.故选C.5.答案：A解析：2名男生记为，，2名女生记为，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有，，，，，，，，，，，这12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，这4种情况，则所求概率.故选A.6.答案：B解析：由题意知函数为奇函数，从而有，即，结合，得，又相邻对称轴之间的距离为，则，，故，令，解得，，故所求增区间为.7.答案：B解析：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，因为，所以的图象如图中实线所示.由可得，由可得.由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，所以的最小值为3.8.答案：D解析：由题可将四棱锥的外接球看作是一个长方体的外接球，是长方体的体对角线，则球心是的中点.设球的半径为R，则，解得，则.如图，连接，由底面，可知.在中，，所以.在中，，，所以，所以.因为底面，所以.又，所以平面.因为平面，所以，同理可证，所以.又，所以，故选D.
 9.答案：AD解析：由题意知的定义域为.对于A，，则，故A正确；对于B，D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，，故函数不存在零点，故C错误.故选AD.10.答案：ACD解析：因为F为的中点，所以结合正五边形的对称性可知，.由正棱柱的性质易知.又因为，所以平面.因为平面，所以，故A正确.易知的面积为定值，点E到平面的距离为定值.因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以三棱锥的体积为定值，故B错误.当N为的中点时，.因为，所以.因为，所以，则.由选项A的解答易知.又因为，所以平面，故C正确.由题图可知，当点M与点C重合时，直线与平面所成的角最大，且最大角为，所以，故D正确.选ACD.11.答案：BD解析：由题意，定义域为R的奇函数，当时，作出函数的图象，如图所示，不妨设，结合图象可得，，此时，故，所以A错误；当时，函数为“凹函数”，所以满足对任意，恒有，所以B正确；结合图象，可得函数的图象与直线共有5个交点，所以C错误；若，当时，可得；当时，令，解得，因为函数为奇函数，所以，要使得当时，的最大值为-1，可得，即，所以D正确.故选BD.12.答案：BC解析：抛物线的焦点为，准线方程为，由点到焦点F的距离等于3，可得，解得，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A错误，B正确；易知直线l的斜率存在，，设，，直线l的方程为，由消去y并整理，得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，，故线段AB的最小值是4，故D错误；圆Q的半径，在等腰中，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C正确，故选BC.13.答案：1解析：，且展开式的通项，展开式中的系数为，.14.答案：-1或1解析：圆C的方程为，可知圆心为，半径为1.因为四边形PACB的面积为3，所以，即.连接PC，在中，，设，则，整理得，解得或，即点P的横坐标为-1或1.15.答案：解析：可化为.令，设，，则，设，令，可得的单调递增区间为，由在上单调递增可知，，则，解得.16.答案：解析：设点M的坐标为，由已知得，当为直角时，则解得，解，得，所以，此时.椭圆在处切线方程为，即，所以当时，是锐角，此时，所以椭圆E在M点处的切线的斜率取值范围是.17.答案：（1）（2）8解析：（1）由题意得，整理得...（2），.假设存在整数t满足总成立，又，数列是递增数列.为的最小值，故，即.又满足条件的t的最大值为8.18.答案：(1).(2)面积为.解析：(1)由已知及正弦定理得.，，又，，，，，，故，得.(2)解法一：，，在中，，①在中，，②，，③由①②③得.由，得，，不妨设，在中，由余弦定理可得，得，则.解法二：，，.的边BD与的边DC上的高相等，，由此可得，即.不妨设，在中，由余弦定理可得，，得，则.19.答案：(1)见解析.(2)正弦值为.解析：如图，取AD的中点N，连接MN，BN.因为是等边三角形，所以，且，在直角梯形ABCD中，因为，所以四边形BCDN是矩形，所以，且，所以，即，又，所以平面MAD.因为平面ABCD，所以平面平面ABCD.(2)由(1)知NA，NB，NM两两互相垂直，以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，，由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，，设平面PBD的一个法向量为，则即令，则，故平面BDP的一个法向量为.而平面MAD的一个法向量为，设平面PBD与平面MAD所成的二面角的平面角为，则，所以，所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为.20.答案：(1)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.(2)分布列见解析，数学期望为.解析：(1)根据2×2列联表中的数据，可得，因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.(2)记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A，则，所以.X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以随机变量X的分布列如表所示，X0123P随机变量X的数学期望.21.答案：（1）（2）在x轴上存在定点，使得为定值解析：（1）由题意得，因为，，所以，又，所以，解得，所以，，所以双曲线C的标准方程为.（2）由（1）得，设，，则，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，联立直线l与双曲线C的方程，消去x得，，，.因为直线BD的斜率，所以直线BD的方程为，若在x轴上存在定点N，使得为定值，则直线BD过x轴上的某个定点.在直线BD的方程中，令，得，所以直线BD过定点.因为，所以为直角三角形，取OE的中点，则，为定值.综上，在x轴上存在定点，使得为定值.22.答案：(1)时，无极值；时，的极小值为，无极大值.(2)取值范围为.解析：(1)，，当时，，单调递增，函数无极值.当时，令，得，易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，的极小值为，无极大值.综上，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.(2)解法一：由得，，整理得.令，则，当时，，单调递增，且当时，，不满足题意.当时，，满足题意.当时，令，则，函数在上单调递增，而，且当时，，在上存在唯一的，使得，即，在上单调递减，在上单调递增，，.令，则，函数在上单调递减，又，.又，.综上，实数a的取值范围为.解法二：由得，，整理得.令，则，当时，，单调递增，且当时，，不满足题意.当时，，满足题意.当时，得.令，则，令，则，单调递减，又，故当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，，，得.综上，实数a的取值范围为.解法三：由得，，整理得.令，则，当时，，单调递增，且当时，，不满足题意.当时，，满足题意.当时，由，得.现在证明当时，.，，令，则，易知单调递增，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，恒成立，得恒成立.综上，实数a的取值范围为.