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河南省安阳市飞翔中学2022—2023学年上学期第一次月考九年级数学试卷(含答案)
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这是一份河南省安阳市飞翔中学2022—2023学年上学期第一次月考九年级数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了关于x的一元二次方程，二次函数y＝ax2+bx+c，已知等内容，欢迎下载使用。
安阳市2022-2023年飞翔中学数学九年级第一次月考试卷含答案一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．
3．在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000 B．（50+2x）（40+2x）＝3000
C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000 D．（50+x）（40+x）＝3000
4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，交AB于点P．若∠BPC＝65°，则∠BCO的度数等于（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
5．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+3
6．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）
7．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB＝60°，则∠COD的度数（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
8．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b＞0；④a+b+c＜0；⑤a﹣b+c＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，O是AB中点，点E、F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC、CA运动，到点C、A时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为S（cm2），则能表示S与t函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．
12．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为 ．
13．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
14．已知点A（4，y1），B（2，y2），（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
16．解方程：
（1）x2﹣x﹣3＝0
（2）2x（x﹣1）+3x﹣3＝0．
17．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一腰长a＝6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，点E为边BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空
①若∠B＝30°，AC＝，则DE＝ ；
②当∠B＝ °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
21．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
22．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFG≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
23．如图，一次函数y＝x﹣2的图象分别交y轴、x轴于A、B两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过A、B两点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第四象限交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
安阳市2022-2023年飞翔中学数学九年级第一次月考试卷含
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．
【分析】把x＝0代入已知方程列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；注意根据一元二次方程的定义得到：a﹣1≠0．
【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，
∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0
解得：a＝1或﹣1，且a≠1．
∴a＝﹣1．
故选：B．
3．在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000 B．（50+2x）（40+2x）＝3000
C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000 D．（50+x）（40+x）＝3000
【分析】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．
【解答】解：设边框的宽为xcm，
所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
根据题意，得：（50+2x）（40+2x）＝3000，
故选：B．
4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，交AB于点P．若∠BPC＝65°，则∠BCO的度数等于（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【分析】利用垂直的意义，对顶角相等和三角形的内角和定理求得∠A的度数，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质求得∠OBA的度数；利用切线的性质定理求得∠OBC＝90°，则∠CBP可求，利用三角形的内角和定理即可求得结论．
【解答】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∵∠APO＝∠BPC，∠BPC＝65°，
∴∠APO＝65°，
∴∠A＝90°﹣APO＝25°．
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝25°．
∵CB为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CBP＝90°﹣∠OBA＝65°．
∴∠BCO＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝50°．
故选：D．
5．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+3
【分析】把抛物线y＝2x2的顶点（0，0）先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点的坐标为（﹣1，﹣3），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点的坐标为（﹣1，﹣3），
所以平移后所得的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣3．
故选：C．
6．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0＝∠B′FO＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，
∴∠B′OF＝45°，
在Rt△B′OF中，
OF＝OB′•cos45°＝2×＝，
∴B′F＝，
∴点B′的坐标为：（，﹣）．
故选：D．
7．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB＝60°，则∠COD的度数（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
【分析】连接AO，BO，OE由切线的性质可得∠PAO＝∠PBO＝90°，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出∠AOB的度数，再由切线长定理即可求出∠COD的度数．
【解答】解：
连接AO，BO，OE，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣2×90°﹣60°＝120°，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，
∴∠ACO＝∠ECO，∠DBO＝∠DEO，
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠COE+∠EOD＝∠AOB＝60°．
故选：B．
8．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝8，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝1．
答：该圆锥的底面圆的半径是1．
故选：D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b＞0；④a+b+c＜0；⑤a﹣b+c＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；
a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0，故②错误；
对称轴x＝﹣＝﹣1，化简，得2a﹣b＝0，则2a+b＝2b＜0，故③错误；
x＝1和x＝﹣3对应的函数值相等，故x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故⑤错误；
故选：B．
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，O是AB中点，点E、F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC、CA运动，到点C、A时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为S（cm2），则能表示S与t函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质，中点的定义，推出三角形全等，然后由三角形的面积公式列出方程求出函数的解析式，由函数的解析式判断其函数的图形．
【解答】解：如图，连接OC，由题意得：CF＝BE＝t，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，
∴AB＝8，∠A＝∠B＝45°，
∵O是AB中点，
∴OA＝OB＝OC，∠OCF＝45°，
在△OCF与△OBE中，，
∴△OCF≌△OBE，
∴S四边形CFOE＝S△BOC＝16，
∴S△FOE＝S四边形CFOE﹣S△CEF＝16﹣t（8﹣t），
∴S＝t2﹣4t+16，
化为顶点式：S＝（t﹣4）2+8，
∴顶点坐标为（4，8），
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 120 度．
【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
12．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为 2 ．
【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．
【解答】解：∵正六边形的边心距为，
∴OB＝，∠OAB＝60°，
∴AB＝＝＝1，
∴AC＝2AB＝2．
故答案为：2．
13．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 6π ．
【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：＝6π，
故答案为：6π．
14．已知点A（4，y1），B（2，y2），（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．
【分析】把各点的横坐标代入二次函数解析式，求出纵坐标，比较大小得到答案．
【解答】解：∵点A（4，y1），B（2，y2），（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，
∴y1＝（4﹣2）2﹣1＝3，y2＝（2﹣2）2﹣1＝﹣1，y3＝（﹣2﹣2）2﹣1＝15，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为 2+2 ．
【分析】由于∠APB＝90°，则根据圆周角定理可判断点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC＝2，然后点与圆的位置关系确定PC的最大值．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
取AB的中点，连接CO，如图，则OC＝＝2，
∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，
∴PC的最大值为2+2．
故答案为2+2．
三．解答题（共8小题）
16．解方程：
（1）x2﹣x﹣3＝0
（2）2x（x﹣1）+3x﹣3＝0．
【分析】（1）利用求根公式x＝进行解答；
（2）利用提取公因式法进行因式分解．
【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣3＝0中，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝；
（2）2x（x﹣1）+3x﹣3＝0，
2x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（2x+3）＝0，
则x﹣1＝0或2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
17．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一腰长a＝6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m﹣3）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）将x＝6代入原方程可求出m值，代入m值解方程即可求出b、c的长度，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：将x＝6代入原方程，得：36﹣6（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝7，
∴原方程为x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6．
∵2、6、6能组成三角形，
∴该三角形的周长为2+6+6＝14．
18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理首先求得∠AOC的度数，然后根据等腰三角形的性质求得∠OAP＝90°，从而求解；
（2）根据直角三角形的性质，直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）设该圆的半径为x．
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，
∴1+x＝2x，
解得：x＝1
∴OA＝PD＝1，
所以⊙O的直径为2．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求
（2）如图所示△A2B2C2即为所求．
点A到A2经过的路径长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，点E为边BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空
①若∠B＝30°，AC＝，则DE＝ ；
②当∠B＝ 45 °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
【分析】（1）AC是直径，则∠ADC＝∠CDB＝90°，点E为边BC的中点，连接OD，则∠OCD＝∠ODC，则∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，即可证明；
（2）①CB＝＝＝3，则DE＝BC＝，即可求解；
②只要DE⊥BC，以O，D，E，C为顶点的四边形就是正方形，即可求解．
【解答】解：（1）∵AC是直径，则∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵点E为边BC的中点，∴∠ECD＝∠EDC，∠B＝∠BDE，
连接OD，则∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）①CB＝＝＝3，
则DE＝BC＝，
故答案是；
②只要DE⊥BC，以O，D，E，C为顶点的四边形就是正方形，
则∠B＝∠BDE＝×90°＝45°，
故答案为45．
21．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【分析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．
（2）已知函数解析式，设y＝4800可从实际得x的值．
（3）利用x＝﹣求出x的值，然后可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4×），
即y＝﹣x2+24x+3200；
（2）由题意，得﹣x2+24x+3200＝4800．
整理，得x2﹣300x+20000＝0．
解这个方程，得x1＝100，x2＝200．
要使百姓得到实惠，取x＝200元．
∴每台冰箱应降价200元；
（3）对于y＝﹣x2+24x+3200＝﹣（x﹣150）2+5000，
当x＝150时，
y最大值＝5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
22．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 SAS ，易证△AFG≌ △AFE ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠D＝180° 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；
（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB＝AC得到∠E′BD＝90°，所以E′B2+BD2＝E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE＝DE′得到DE2＝BD2+EC2；
【解答】解：（1）∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
（3）猜想：DE2＝BD2+EC2，
证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′＝EC，AE′＝AE，
∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABC+∠ABE′＝90°，
即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BD2＝E′D2，
又∵∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°，
∴∠E′AB+∠BAD＝45°，
即∠E′AD＝45°，
在△AE′D和△AED中，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE＝DE′，
∴DE2＝BD2+EC2．
23．如图，一次函数y＝x﹣2的图象分别交y轴、x轴于A、B两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过A、B两点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第四象限交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据直线和二次函数的解析式表示出MN，然后利用二次函数的最值问题解答；
（3）分AM、AN是对角线时，根据平行四边形的对边相等求AD＝MN，然后求出OD的长度，再写出点D的坐标即可；MN是对角线时，求出MN的中点坐标，再根据中心对称写出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，则x﹣2＝0，解得x＝4，
所以，点A（0，﹣2），B（4，0），
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过A、B两点，
∴，
解得，
∴这个二次函数的关系式y＝x2﹣x﹣2；
（2）由题意得，MN＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2），
＝﹣t2+4t，
＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，MN有最大值4；
（3）如图，①AM是对角线时，AD＝MN＝4，
∴OD＝4﹣2＝2，
此时点D1（0，2），
②AN是对角线时，AD＝MN＝4，
∴OD＝4+2＝6，
此时点D2（0，﹣6），
③MN是对角线时，点M的坐标为（2，﹣1），N（2，﹣5），
线段MN的中点坐标为（2，﹣3），
∵点A（0，﹣2），
∴点D3的横坐标为2×2﹣0＝4，
纵坐标为2×（﹣3）﹣（﹣2）＝﹣6+2＝﹣4，
此时，点D3（4，﹣4），
综上所述，点D1（0，2），D2（0，﹣6），D3（4，﹣4）时，以A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．
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安阳市2022-2023年飞翔中学数学九年级第一次月考试卷含答案一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．
3．在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000 B．（50+2x）（40+2x）＝3000
C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000 D．（50+x）（40+x）＝3000
4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，交AB于点P．若∠BPC＝65°，则∠BCO的度数等于（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
5．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+3
6．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）
7．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB＝60°，则∠COD的度数（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
8．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b＞0；④a+b+c＜0；⑤a﹣b+c＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，O是AB中点，点E、F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC、CA运动，到点C、A时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为S（cm2），则能表示S与t函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．
12．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为 ．
13．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
14．已知点A（4，y1），B（2，y2），（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
16．解方程：
（1）x2﹣x﹣3＝0
（2）2x（x﹣1）+3x﹣3＝0．
17．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一腰长a＝6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，点E为边BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空
①若∠B＝30°，AC＝，则DE＝ ；
②当∠B＝ °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
21．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
22．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFG≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
23．如图，一次函数y＝x﹣2的图象分别交y轴、x轴于A、B两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过A、B两点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第四象限交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
安阳市2022-2023年飞翔中学数学九年级第一次月考试卷含
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．
【分析】把x＝0代入已知方程列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；注意根据一元二次方程的定义得到：a﹣1≠0．
【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，
∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0
解得：a＝1或﹣1，且a≠1．
∴a＝﹣1．
故选：B．
3．在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000 B．（50+2x）（40+2x）＝3000
C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000 D．（50+x）（40+x）＝3000
【分析】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．
【解答】解：设边框的宽为xcm，
所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
根据题意，得：（50+2x）（40+2x）＝3000，
故选：B．
4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，交AB于点P．若∠BPC＝65°，则∠BCO的度数等于（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【分析】利用垂直的意义，对顶角相等和三角形的内角和定理求得∠A的度数，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质求得∠OBA的度数；利用切线的性质定理求得∠OBC＝90°，则∠CBP可求，利用三角形的内角和定理即可求得结论．
【解答】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∵∠APO＝∠BPC，∠BPC＝65°，
∴∠APO＝65°，
∴∠A＝90°﹣APO＝25°．
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝25°．
∵CB为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CBP＝90°﹣∠OBA＝65°．
∴∠BCO＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝50°．
故选：D．
5．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+3
【分析】把抛物线y＝2x2的顶点（0，0）先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点的坐标为（﹣1，﹣3），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点的坐标为（﹣1，﹣3），
所以平移后所得的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣3．
故选：C．
6．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0＝∠B′FO＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，
∴∠B′OF＝45°，
在Rt△B′OF中，
OF＝OB′•cos45°＝2×＝，
∴B′F＝，
∴点B′的坐标为：（，﹣）．
故选：D．
7．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB＝60°，则∠COD的度数（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
【分析】连接AO，BO，OE由切线的性质可得∠PAO＝∠PBO＝90°，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出∠AOB的度数，再由切线长定理即可求出∠COD的度数．
【解答】解：
连接AO，BO，OE，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣2×90°﹣60°＝120°，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，
∴∠ACO＝∠ECO，∠DBO＝∠DEO，
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠COE+∠EOD＝∠AOB＝60°．
故选：B．
8．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝8，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝1．
答：该圆锥的底面圆的半径是1．
故选：D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b＞0；④a+b+c＜0；⑤a﹣b+c＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；
a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0，故②错误；
对称轴x＝﹣＝﹣1，化简，得2a﹣b＝0，则2a+b＝2b＜0，故③错误；
x＝1和x＝﹣3对应的函数值相等，故x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故⑤错误；
故选：B．
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，O是AB中点，点E、F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC、CA运动，到点C、A时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为S（cm2），则能表示S与t函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质，中点的定义，推出三角形全等，然后由三角形的面积公式列出方程求出函数的解析式，由函数的解析式判断其函数的图形．
【解答】解：如图，连接OC，由题意得：CF＝BE＝t，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，
∴AB＝8，∠A＝∠B＝45°，
∵O是AB中点，
∴OA＝OB＝OC，∠OCF＝45°，
在△OCF与△OBE中，，
∴△OCF≌△OBE，
∴S四边形CFOE＝S△BOC＝16，
∴S△FOE＝S四边形CFOE﹣S△CEF＝16﹣t（8﹣t），
∴S＝t2﹣4t+16，
化为顶点式：S＝（t﹣4）2+8，
∴顶点坐标为（4，8），
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 120 度．
【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
12．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为 2 ．
【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．
【解答】解：∵正六边形的边心距为，
∴OB＝，∠OAB＝60°，
∴AB＝＝＝1，
∴AC＝2AB＝2．
故答案为：2．
13．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 6π ．
【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：＝6π，
故答案为：6π．
14．已知点A（4，y1），B（2，y2），（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．
【分析】把各点的横坐标代入二次函数解析式，求出纵坐标，比较大小得到答案．
【解答】解：∵点A（4，y1），B（2，y2），（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，
∴y1＝（4﹣2）2﹣1＝3，y2＝（2﹣2）2﹣1＝﹣1，y3＝（﹣2﹣2）2﹣1＝15，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为 2+2 ．
【分析】由于∠APB＝90°，则根据圆周角定理可判断点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC＝2，然后点与圆的位置关系确定PC的最大值．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
取AB的中点，连接CO，如图，则OC＝＝2，
∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，
∴PC的最大值为2+2．
故答案为2+2．
三．解答题（共8小题）
16．解方程：
（1）x2﹣x﹣3＝0
（2）2x（x﹣1）+3x﹣3＝0．
【分析】（1）利用求根公式x＝进行解答；
（2）利用提取公因式法进行因式分解．
【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣3＝0中，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝；
（2）2x（x﹣1）+3x﹣3＝0，
2x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（2x+3）＝0，
则x﹣1＝0或2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
17．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一腰长a＝6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m﹣3）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）将x＝6代入原方程可求出m值，代入m值解方程即可求出b、c的长度，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：将x＝6代入原方程，得：36﹣6（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝7，
∴原方程为x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6．
∵2、6、6能组成三角形，
∴该三角形的周长为2+6+6＝14．
18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理首先求得∠AOC的度数，然后根据等腰三角形的性质求得∠OAP＝90°，从而求解；
（2）根据直角三角形的性质，直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）设该圆的半径为x．
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，
∴1+x＝2x，
解得：x＝1
∴OA＝PD＝1，
所以⊙O的直径为2．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求
（2）如图所示△A2B2C2即为所求．
点A到A2经过的路径长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，点E为边BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空
①若∠B＝30°，AC＝，则DE＝ ；
②当∠B＝ 45 °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
【分析】（1）AC是直径，则∠ADC＝∠CDB＝90°，点E为边BC的中点，连接OD，则∠OCD＝∠ODC，则∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，即可证明；
（2）①CB＝＝＝3，则DE＝BC＝，即可求解；
②只要DE⊥BC，以O，D，E，C为顶点的四边形就是正方形，即可求解．
【解答】解：（1）∵AC是直径，则∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵点E为边BC的中点，∴∠ECD＝∠EDC，∠B＝∠BDE，
连接OD，则∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）①CB＝＝＝3，
则DE＝BC＝，
故答案是；
②只要DE⊥BC，以O，D，E，C为顶点的四边形就是正方形，
则∠B＝∠BDE＝×90°＝45°，
故答案为45．
21．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【分析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．
（2）已知函数解析式，设y＝4800可从实际得x的值．
（3）利用x＝﹣求出x的值，然后可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4×），
即y＝﹣x2+24x+3200；
（2）由题意，得﹣x2+24x+3200＝4800．
整理，得x2﹣300x+20000＝0．
解这个方程，得x1＝100，x2＝200．
要使百姓得到实惠，取x＝200元．
∴每台冰箱应降价200元；
（3）对于y＝﹣x2+24x+3200＝﹣（x﹣150）2+5000，
当x＝150时，
y最大值＝5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
22．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 SAS ，易证△AFG≌ △AFE ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠D＝180° 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；
（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB＝AC得到∠E′BD＝90°，所以E′B2+BD2＝E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE＝DE′得到DE2＝BD2+EC2；
【解答】解：（1）∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
（3）猜想：DE2＝BD2+EC2，
证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′＝EC，AE′＝AE，
∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABC+∠ABE′＝90°，
即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BD2＝E′D2，
又∵∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°，
∴∠E′AB+∠BAD＝45°，
即∠E′AD＝45°，
在△AE′D和△AED中，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE＝DE′，
∴DE2＝BD2+EC2．
23．如图，一次函数y＝x﹣2的图象分别交y轴、x轴于A、B两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过A、B两点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第四象限交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据直线和二次函数的解析式表示出MN，然后利用二次函数的最值问题解答；
（3）分AM、AN是对角线时，根据平行四边形的对边相等求AD＝MN，然后求出OD的长度，再写出点D的坐标即可；MN是对角线时，求出MN的中点坐标，再根据中心对称写出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，则x﹣2＝0，解得x＝4，
所以，点A（0，﹣2），B（4，0），
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过A、B两点，
∴，
解得，
∴这个二次函数的关系式y＝x2﹣x﹣2；
（2）由题意得，MN＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2），
＝﹣t2+4t，
＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，MN有最大值4；
（3）如图，①AM是对角线时，AD＝MN＝4，
∴OD＝4﹣2＝2，
此时点D1（0，2），
②AN是对角线时，AD＝MN＝4，
∴OD＝4+2＝6，
此时点D2（0，﹣6），
③MN是对角线时，点M的坐标为（2，﹣1），N（2，﹣5），
线段MN的中点坐标为（2，﹣3），
∵点A（0，﹣2），
∴点D3的横坐标为2×2﹣0＝4，
纵坐标为2×（﹣3）﹣（﹣2）＝﹣6+2＝﹣4，
此时，点D3（4，﹣4），
综上所述，点D1（0，2），D2（0，﹣6），D3（4，﹣4）时，以A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．
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