江苏省南京市第一中学2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）(含答案)

这是一份江苏省南京市第一中学2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省南京市第一中学2022-2023学年八年级上学期月考
数学试卷（10月份）
一、选择题
1．下列四个图形中，不是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．不能说明两个三角形全等的条件是（　　）
A．三边对应相等 B．两边及其夹角对应相等
C．两角和一边对应相等 D．两边和一角对应相等
3．下列四种图形中，对称轴条数最多的是（　　）
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
4．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B．
C． D．
5．一块三角形玻璃不小心打碎了，带上如图所示的玻璃碎片就能让玻璃店的师父重配一块与原来相同的三角形玻璃的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
6．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝7：24：25
7．将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
二、填空题
9．已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠F＝　 　°．
10．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，且OA平分∠BAC，OD＝2，则OE＝　 　．

11．如图，已知：∠A＝∠D，∠BCA＝∠EFD，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝ED；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有 　 　．（填序号）

12．用直尺和圆规画一个角的角平分线，本质是构造全等三角形，其判定全等的依据是 　 　．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若直接根据“HL”判定，还需要再添加的一个条件是 　 　．

14．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，AE＝3，△ABD的周长为13，那么△ABC的周长为 　 　．

15．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为　 　．

16．若三角形三边满足a：b：c＝3：4：5，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为 　 　．
17．如图，B、C、D在同一直线上，∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝1，BC＝DE＝3，则△ACE的面积为　 　．

18．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 　 　秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．

三、解答题
19．已知Rt△ABC中，∠B＝90°
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
①作∠BAC的平分线AD交BC于D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；
③连接ED．
（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△　 　≌△　 　并加以证明．

20．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC的和最小．

21．一架梯子长25m，底部长7m，斜靠在墙，若梯子下滑了4m，问梯子底部滑动了多少米？

22．已知，如图，点B、C、F、E在同一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：AC∥DF．

23．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．试说明下列结论正确的理由：
（1）∠C＝∠E；
（2）△ABC≌△ADE．

24．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝EC．求证：△ABC≌△DCB．

25．在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，点E是平面内一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF．
（1）如图1，若点E在AB上运动，连接CF，当AB＝4，AE＝1时，BF＝　 　，EF＝　 　；
（2）如图2，若EF恰好经过点C，连接AE，求证：AE+CE＝DE．

26．【观察发现】
（1）如图1，AC＝BC，CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝60°且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，则线段BD与AE的数量关系是 　 　，∠DPE的度数是 　 　．（只要求写出结论，不必说出理由）
【深入探究1】
（2）如图2，AC＝BC，CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝60°，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及∠DPE的度数．请说明理由．
结论：　 　；
理由：　 　．
【深入探究2】
（3）如图3，AC＝BC，CE＝CD，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K．
求证：QK⊥BE．


江苏省南京市第一中学2022-2023学年八年级上学期月考
数学试卷（10月份）参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列四个图形中，不是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
2．不能说明两个三角形全等的条件是（　　）
A．三边对应相等 B．两边及其夹角对应相等
C．两角和一边对应相等 D．两边和一角对应相等
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：三边对应相等的两个三角形全等，
故A不符合题意；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，
故B不符合题意；
两角和一边对应相等的两个三角形全等，
故C不符合题意；
两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．下列四种图形中，对称轴条数最多的是（　　）
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；
B．圆是轴对称图形，有无数条条对称轴；
C．长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
D．正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故选：B．
【点评】此题考查轴对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形的意义及对称轴的描述．
4．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
B．∠C＝180°﹣50°﹣68°＝62°，符合全等三角形的判定定理SAS，故本选项符合题意；
C．不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．一块三角形玻璃不小心打碎了，带上如图所示的玻璃碎片就能让玻璃店的师父重配一块与原来相同的三角形玻璃的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】根据三角形全等的判定方法解答即可．
【解答】解：由图可知，带上如图所示的玻璃碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．
6．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝7：24：25
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为a2﹣b2＝c2，a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝7：24：25，设a＝7x，b＝24x，c＝25x，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
7．将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
【解答】解：根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直．
故选：C．
【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
二、填空题
9．已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠F＝　70　°．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝70°，
故答案是：70．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
10．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，且OA平分∠BAC，OD＝2，则OE＝　2　．

【分析】证明△AOE≌△AOD（AAS），得OE＝OD＝2即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∵OA平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△AOD中，
，
∴△AOE≌△AOD（AAS），
∴OE＝OD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明△AOE≌△AOD是解题的关键．
11．如图，已知：∠A＝∠D，∠BCA＝∠EFD，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝ED；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有 　②③④　．（填序号）

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件逐个判断即可．
【解答】解：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠BCA＝∠EFD，
①∠E＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故①错误，不符合题意；
②EF＝BC，符合全等三角形的判定定理，可以用AAS证明△ABC≌△DEF，故②正确，符合题意；
③AB＝ED，符合全等三角形的判定定理，可以用AAS证明△ABC≌△DEF，故③正确，符合题意；
④∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故④正确，符合题意；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）．
12．用直尺和圆规画一个角的角平分线，本质是构造全等三角形，其判定全等的依据是 　SSS　．
【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．
【解答】解：如图所示：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，
②再分别以F、E为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点M，
③画射线OM，
射线OM即为所求．
∵OE＝OF，EM＝FM，OM＝OM，
∴△EOM≌△FOM（SSS）．
故答案为：SSS．

【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若直接根据“HL”判定，还需要再添加的一个条件是 　AB＝AC　．

【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
由上可知，根据“HL”判定，还需要再添加的一个条件是AB＝AC．
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
14．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，AE＝3，△ABD的周长为13，那么△ABC的周长为 　19　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故答案为：19．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为　29　．

【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程4+16＝x﹣9，求出即可．
【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的边长分别为2、3、4，
∴正方形的面积分别为4、9、16，
根据图形得：4+9+16＝x或 4+9＝x﹣16，
解得：x＝29，
故答案为：29．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中．
16．若三角形三边满足a：b：c＝3：4：5，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为 　cm　．
【分析】首先根据三边比设三边长分别为a＝3xcm，b＝4xcm，c＝5xcm，再根据周长计算出边长，然后利用勾股定理可证明三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式计算出最长边上的高．
【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，
∴设三边长分别为：a＝3xcm，b＝4xcm，c＝5xcm，
∵周长为24cm，
∴3x+4x+5x＝24，
解得：x＝2，
∴三边长分别为：a＝6cm，b＝8cm，c＝10cm，
∵62+82＝102，
∴三角形是直角三角形，
设最长边上的高是hcm，
则＝10×h
解得：h＝．
故答案为：cm．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是利用方程思想正确计算出三边长．
17．如图，B、C、D在同一直线上，∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝1，BC＝DE＝3，则△ACE的面积为　5　．

【分析】由“SAS”可证△ABC≌△CDE，可得AC＝CE，∠ACB＝∠CED，由勾股定理可求AC的长，即可求解．
【解答】解：在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED，
∵∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝3，
∴AC＝＝＝＝CE，
∴S△ACE＝××＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
18．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过 　0，3，9，12　秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．

【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BD进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6，
∴BE＝6，
∴AE＝2﹣6＝6，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；

②当E在BN上，AC＝BE时，
AC＝12+6＝18，
点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；

③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；

④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝12+12＝24，
点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
故答案为：0，3，9，12．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题
19．已知Rt△ABC中，∠B＝90°
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
①作∠BAC的平分线AD交BC于D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；
③连接ED．
（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△　AEH　≌△　DEH　并加以证明．

【分析】（1）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AE＝ED，∠AHE＝∠EHD，然后再利用HL定理判定Rt△AEH≌Rt△DEH即可．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）Rt△AEH≌Rt△DEH，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝ED，∠AHE＝∠EHD，
在Rt△AEH和Rt△DEH中，
∴Rt△AEH≌Rt△DEH（HL），
故答案为：AEH；DEH．

【点评】此题主要考查了复杂作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法．
20．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC的和最小．

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接A1C，与直线l交于点P，连接AP，此时PA+PC的和最小．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，点P即为所求．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．一架梯子长25m，底部长7m，斜靠在墙，若梯子下滑了4m，问梯子底部滑动了多少米？

【分析】梯子长度不会变，在Rt△ABO中，根据勾股定理求出AO，在Rt△CDO中，根据勾股定理求出DO，即可求出BD．
【解答】解：由题意知AB＝CD＝25米，BO＝7米，AC＝4米，
在Rt△ABO中，
AO＝＝＝24（米），
在Rt△CDO中，CO＝AO﹣AC＝20米，
∴DO＝＝＝15（米），
∴BD＝15﹣7＝8米．
答：梯子底部滑动了8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
22．已知，如图，点B、C、F、E在同一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：AC∥DF．

【分析】证△ABC≌△DEF（SAS），得∠ACB＝∠DFE，则∠ACF＝∠DFC，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】解：∵BF＝CE，
∴BF﹣FC＝CE﹣FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACF＝∠DFC，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．属于中考常考题型．
23．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．试说明下列结论正确的理由：
（1）∠C＝∠E；
（2）△ABC≌△ADE．

【分析】根据已知，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△DCF，从而得到∠E＝∠C，再由已知可得∠BAC＝∠DAE，又因为AC＝AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．
【解答】解：（1）在△CDF与△AEF中，
∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
∴∠C＝∠E；

（2）∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵AC＝AE，
又∠C＝∠E，
∴△ABC≌△ADE．
【点评】此题考查学生对相似三角形的判定及全等三角形的判定的理解及运用．
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
24．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝EC．求证：△ABC≌△DCB．

【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠DBC，再由AAS证明△ABC≌△DCB即可．
【解答】证明：∵BE＝EC，
∴∠ACB＝∠DBC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
25．在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，点E是平面内一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF．
（1）如图1，若点E在AB上运动，连接CF，当AB＝4，AE＝1时，BF＝　5　，EF＝　　；
（2）如图2，若EF恰好经过点C，连接AE，求证：AE+CE＝DE．

【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得AD＝CD，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，由旋转得∠EDF＝90°，DF＝DE，再证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，可证明B、C、F三点在同一条直线上，即可由AB＝BC＝4，AE＝CF＝1，求得BE的长和BF的长，再根据勾股定理求出EF长；
（2）类比（1）中的方法，先证明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，则AE+CE＝CF+CE＝EF，再由勾股定理求得EF＝DE，所以AE+CE＝DE．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
由旋转得∠EDF＝90°，DF＝DE，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°﹣∠CDE，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，
∴∠BCD+∠DCF＝180°，
∴B、C、F三点在同一条直线上，
∵AB＝BC＝4，AE＝CF＝1，
∴BF＝BC+CF＝4+1＝5，BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3，
∴EF＝，
故答案为：5，；
（2）证明：∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDF＝90°﹣∠CDE，DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
∴AE+CE＝CF+CE＝EF，
∵EF＝DE，
∴AE+CE＝DE．
【点评】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据正方形的性质和旋转的性质得出三角形全等的条件，从而证明三角形全等是解题的关键．
26．【观察发现】
（1）如图1，AC＝BC，CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝60°且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，则线段BD与AE的数量关系是 　BD＝AE　，∠DPE的度数是 　60°　．（只要求写出结论，不必说出理由）
【深入探究1】
（2）如图2，AC＝BC，CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝60°，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及∠DPE的度数．请说明理由．
结论：　BD＝AE，∠DPE＝60°　；
理由：　理由见解析　．
【深入探究2】
（3）如图3，AC＝BC，CE＝CD，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K．
求证：QK⊥BE．


【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，然后求出∠ACE＝∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝AE，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC＝∠BDC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DPE＝∠DCE；
（2）证明△ACE≌△BCD（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，则可得出结论；
（3）延长CQ到R，使得CQ＝QR，连接AR、DR．只要证明△ACR≌△BCE，可得∠ACR＝∠CBE，由∠ACR+∠BCK＝90°，推出∠CBE+∠BCK＝90°，可得∠CKB＝90°，即QK⊥BE．
【解答】（1）解：BD＝AE，60°，理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，
由三角形的外角性质，∠DPE＝∠AEC+∠BDC，
∠DCE＝∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°；
故答案为：BD＝AE，60°；
（2）解：BD＝AE，BD与AE相交构成的锐角的度数为60°．

理由如下：∵AC＝BC，CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝60°，
即△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，
又∵∠DNA＝∠ENC，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°．
故答案为：BD＝AE，∠DPE＝60°；理由见解析；
（3）证明：延长CQ到R，使得CQ＝QR，连接AR、DR．

AC＝BC，CE＝CD，且∠ACB＝∠DCE＝90°，
即ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AQ＝DQ，CQ＝QR，
∴四边形ACDR是平行四边形，
∴AR＝CD＝CE，AR∥CD，
∴∠CAR+∠ACD＝180°，
∴∠BCE＝∠CAR，
∵CA＝CB，AR＝CE，
∴△ACR≌△BCE（SAS），
∴∠ACR＝∠CBE，
∵∠ACR+∠BCK＝90°，
∴∠CBE+∠BCK＝90°，
∴∠CKB＝90°，
即QK⊥BE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键．