(新高考)高考数学三轮冲刺大题优练9《圆锥曲线探索性问题》(2份打包，解析版+原卷版)

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     例1．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，且椭圆上存在点与点关于直线对称．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆只有一个公共点，点，是轴上关于原点对称的两点，且点，在直线上的射影分别为，，判断是否存在点，，使得为定值，若存在，求出，的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），存在点，或，，使得为定值，该定值为2．【解析】（1）因为点在椭圆上，所以．由题意知，因为点与点关于直线对称，所以点的坐标为，代入椭圆的方程，得，即，所以，与联立并求解，得，，所以椭圆的标准方程为．（2）存在点，，使得为定值．当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入，得，则，得．设，则，点到直线的距离，点到直线的距离，所以，当，即时，，为定值，所以存在点，或，，使得；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，或，均满足．综上，存在点，或，，使得为定值，该定值为2．例2．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）设双曲线的焦距为，因为离心率为2，所以，，联立，得，所以点的坐标为，因为，所以的面积为，所以，双曲线的方程为．（2）设，，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，联立，所以点的横坐标为，联立，得，，，所以，直线与直线的交点在直线上．  
1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）椭圆，抛物线；（2）存在，．【解析】（1）设椭圆焦点，由题意得，解得，即椭圆焦点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线的方程为，又椭圆得离心率为，所以，得．又，得．所以椭圆的方程为．（2）由题意得，直线不与x轴平行，设直线的方程为，并设，，，，联立与，消去，整理得，，，，所以，所以，联立与，消去，整理得，，，所以，得，当，即时，为常数．故存在，使为常数．2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，的周长为．（1）求的方程：（2）在轴上是否存在点，使得恒成立(为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由．【答案】（1）；（2）存在，点坐标为．【解析】（1）当与轴垂直时，，，从而有，解得，所以的方程为．（2）设，，，由题可知直线斜率不为零，设，代入抛物线方程消去，得，从而，，①由，可得，而，将①代入，从而得恒成立，所以，因此存在点满足题意，点坐标为．3．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且，，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，答案见解析．【解析】（1）由题意可得，解得，，故椭圆方程为．（2）设点，，若直线斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，消去并整理得，可得，，因为，所以，即，根据，，代入整理可得，所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，所以，于是的方程为，所以直线过定点；当直线的斜率不存在时，可得，由，得，得，结合，可得，解得或，当时与点的横坐标重合舍去，此时直线过点．令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故；若与重合，则，故存在点，使得为定值．