(新高考)高考数学三轮冲刺大题优练10《导数之隐零点问题》(2份打包，解析版+原卷版)

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     例1．已知函数．（1）若函数，讨论在的单调性；（2）若，对任意恒成立，求整数k的最大值．【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）．【解析】（1）因为，令，则．所以函数在单调递增，从而，所以．由，得；由，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）因为，对任意恒成立，所以．令，则，所以在R上单调递增，又，，所以存在唯一的，使得，又，由（1）知当时，，所以，所以存在唯一的，使得，即．当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增，所以，，，又，所以k的最大值为．  
1．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：不等式恒成立．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），当时，，所以在上单调递增；当时，令，得到，所以当时，，单调递增；当，，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）设函数，则，可知在上单调递增．又由，，知在上有唯一实数根，且，则，即．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，结合，知，所以，则，即不等式恒成立．2．已知函数．（1）求的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）．【解析】（1），令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，无最大值．（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以．设，易知在上单调递增．因为，，所以存在，使得，即．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，从而，故的取值范围为．3．已知函数，．（1）求函数的极值；（2）当时，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，，∴，当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值；当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，故函数的极小值为，无极大值．（2）证明：令，，故，令的根为，即，两边求对数得，即，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，∴，即原不等式成立．4．设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：．【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减；（2）证明见解析．【解析】（1）时，令，可化为，即，，易知为增函数，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．（2）令，可化为，，当时，易知为上增函数，当时，；当时，；当时，，而，所以存在，，即，当时，单调递减；当时，单调递增，所以．5．已知函数，．（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）当时，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），由题意知，又设，显然当时，，因此函数是增函数，而，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，故是函数的极小值点，故符合题意．（2）当时，对于时，有，即，故要证明，只需证明，令，即只需证明，则有，设，则显然当时，，因此函数是增函数，，，故存在，使得，即，因此当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以有，又，∴，设，则，，，单调递减，因此有，故，故，原不等式得证．