(新高考)高考数学二轮复习分层练习02《三角恒等变换与解三角形》（解析版）

这是一份(新高考)高考数学二轮复习分层练习02《三角恒等变换与解三角形》（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
解密02  三角恒等变换与解三角形A组 考点专练一、选择题1．若sin α＝，则cos 2α等于(　　)A.   B.C．－   D．－【答案】B【解析】∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.2．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为(　　)A.   B.C．－   D．－【答案】D【解析】因为tan 120°＝＝－，即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.3.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)A.   B.  C.   D.【答案】C【解析】　由α，β为锐角，则－<α－β<，由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝，又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)A．1＋   B．2＋C．4＋   D．5＋【答案】D【解析】在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C，则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.5.(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，则下列结论正确的是(　　)A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为【答案】ACD【解析】由a∶b∶c＝4∶5∶6，可设a＝4x，b＝5x，c＝6x，x>0.根据正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，A正确.由c为最大边，cos C＝＝＝>0，即C为锐角，得△ABC为锐角三角形，B不正确.a为最小边，cos A＝＝＝，则cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cos C.由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，C正确.若c＝6，则2R＝＝＝(R为△ABC的外接圆的半径)，则△ABC的外接圆的半径为，D正确.故选ACD.二、填空题6.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin 2α的值是________.【答案】　【解析】　因为sin2＝，所以＝，即＝，所以sin 2α＝.7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.【答案】　6【解析】　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.又∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，∴c＝2，c＝－2(舍去)，∴a＝4，∴S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcos C与ccos B的等差中项为acos B，则B＝________；若a＋c＝5，△ABC的面积S＝，则b＝________.【答案】　　【解析】　因为bcos C与ccos B的等差中项为acos B，所以2acos B＝bcos B＋ccos B.由正弦定理可得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B，即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)，即2sin Acos B＝sin A.因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.因为△ABC的面积S＝，所以acsin B＝，所以ac＝4.由余弦定理，得b＝＝＝＝.三、解答题9.在①cos A＝，cos C＝；②csin C＝sin A＋bsin B，B＝60°；③c＝2，cos A＝三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【解析】选①.∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝＝＝，∴S＝absin C＝×3××＝.选②.∵csin C＝sin A＋bsin B，∴结合正弦定理，得c2＝a＋b2.∵a＝3，∴b2＝c2－3.又∵B＝60°，∴b2＝c2＋9－2×3×c×＝c2－3，∴c＝4，∴S＝acsin B＝3.选③.∵c＝2，cos A＝，∴结合余弦定理，得＝，即b2－－5＝0，解得b＝或b＝－2(舍去).又∵sin A＝＝，∴S＝bcsin A＝××2×＝.10.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②由①②得cos A＝－.因为0<A<π，所以A＝.(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.B组  专题综合练11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB的值为(　　)A.－   B.   C.   D.±【答案】　B【解析】　法一　如图，因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，所以a＝CB＝4.因为a2＝b2＋c2－2bccos ∠CAB，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理，知＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.因为b＝3c>c，所以B>C.因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB为锐角，所以cos ∠ADB＝＝＝＝.故选B.法二　因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，所以a＝CB＝4.因为a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·，解得c＝4.由余弦定理，得cos ∠BAD＝，即＝，所以AD2－4AD＋9＝0，所以(AD－)(AD－3)＝0.所以AD＝3或AD＝.因为b＝3c>c，所以B>C.又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，所以AD>BD＝，所以AD＝3，所以cos ∠ADB＝＝＝.故选B.12.(2020·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值.【解析】(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5，所以b＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，所以sin C＝.(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，所以∠ADC为钝角.而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角.故cos C＝＝，则tan C＝＝.因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，所以tan∠ADC＝＝－.从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－＝－＝.13．已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos θ，sin θ)，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积．【解析】(1)f(x)＝a·b＝sin 2xcos θ＋cos 2xsin θ＝sin(2x＋θ)，∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，∴2×＋θ＝kπ＋，k∈Z，∴θ＝kπ＋，k∈Z，又|θ|<，∴θ＝.∴f(x)＝sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵f(A)＝sin＝，∴sin＝1.  又∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋12－2×5×2cos ＝7，∴a＝.设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得＝2R＝＝2，∴R＝，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π.