(新高考)高考数学二轮复习分层练习11《圆锥曲线的方程与性质》（解析版）

解密11 圆锥曲线的方程与性质

A组 考点专练

一、选择题

1.【2020北京卷】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)

A.经过点O    B.经过点P

C.平行于直线OP    D.垂直于直线OP

【答案】B

【解析】如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线过点P.故选B.

2.(多选题)【2020新高考全国卷】已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是(　　)

A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为

C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x

D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线

【答案】ACD

【解析】对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，B错误；

对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±x，C正确；

对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，D正确.

3.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)

A.p＝4    B.＝

C.|BD|＝2|BF|    D.|BF|＝4

【答案】ABC

【解析】如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由直线l的斜率为，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，

∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠PEF＝30°，

∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正确.

∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则＝，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，

∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.

由C选项知|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误.故选ABC.

4.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有·＝0，若点P到x轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B.   C.2   D.

【答案】A

【解析】因为·＝0，所以PF1⊥PF2，

则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.

由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.

因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①

在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|F1F2|＝c2.

代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，

故双曲线的离心率e＝＝＝.

5.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A.    B.

C.    D.

【答案】B

【解析】依题设x0≥0时，当点P在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.

若在椭圆C上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，

则90°＞(∠PF1F2)max≥30°，

∴tan(∠PF1F2)max≥tan 30°＝，

则≥，即b≥c.

又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，

所以e＝＝≤＝.

故椭圆离心率的取值范围为.

二、填空题

6.【2020北京卷】已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.

【答案】(3，0)　

【解析】由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以C的右焦点坐标为(3，0).

双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－y＝0，

所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝.

7.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.

【答案】1

【解析】法一　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝＝，从而a＝1.

法二　由题意得，S△PF1F2＝＝4，得b2＝4，又e2＝＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.

8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.

【答案】(3，)

【解析】不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2＝8，

因为△MF1F2是等腰三角形，

|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，

所以|MF1|>6，|MF2|<6，

所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.

故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.

因为点M在椭圆＋＝1上，

所以联立方程可得解得

又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).

三、解答题

9.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.

(1)写出椭圆C2的方程；

(2)若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.

【解析】(1)依题意，设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，

则由椭圆C2与C1是“相似椭圆”，可得＝，即a2＝4b2.

所以椭圆C2的方程为＋＝1(b＞0).

(2)设直线MN的方程为y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为(x0，y0)，

由消去y并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，

易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①

则x0＝＝，y0＝.

由题意知线段MN的中点在直线y＝x＋1上，

所以＝＋1，解得t＝－，

则直线MN的方程为y＝－x－，

将t＝－代入①式，解得b＞.

所以实数b的取值范围是.

10.【2019新课标Ⅲ卷】已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

【解析】(1)设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.

因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.

设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.

故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.

所以直线AB过定点.

(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.

由可得x2－2tx－1＝0.

于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，

y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，

|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1).

设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，

则d1＝，d2＝.

因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).

设M为线段AB的中点，则M.

因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，

所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.

当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.

因此，四边形ADBE的面积为3或4.

B组  专题综合练

11.【2019新课标Ⅱ卷】设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)

A.    B.

C.2    D.

【答案】A

【解析】设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.

12.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.

(1)求椭圆E和圆F的方程；

(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.

【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

∵椭圆的离心率e＝，∴＝，

∵a2＝b2＋c2，∴a＝2b，

将点代入椭圆的方程得＋＝1，

联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.

∴椭圆E的方程为＋y2＝1.

∴F(，0)，∵PF⊥x轴，∴P，

∴圆F的半径为，圆心为(，0)，

∴圆F的方程为(x－)2＋y2＝.

(2)由A，B在圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝.设点C(x1，y1)，D(x2，y2).

|CF|＝＝2－x1，同理|DF|＝2－x2.

若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，

即|AB|＝|CD|＝1，4－(x1＋x2)＝1，

由得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，

∴x1＋x2＝，∴4－＝1，

得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在.