(新高考)高考数学二轮复习分层练习14《基本初等函数、函数的应用》（解析版）

14 基本初等函数、函数的应用

A组 考点专练

一、选择题

1．已知函数f(x)＝x－，则在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　)

A.                                 B. 

C.                                 D.

【答案】B

【解析】f(0)＝1>0，f ＝－>0，f ＝－<0，f f <0，

所以函数f(x)在区间内必有零点，故选B.

2.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A.a<b<c    B.a<c<b

C.c<a<b    D.b<c<a

【答案】B

【解析】由对数函数的单调性可得a＝log20.2<log21＝0，

由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故选B.

3.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0   B.－2，0   C.   D.0

【答案】D

【解析】当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，

又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.

4.【2018新课标Ⅲ卷】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)

A.a＋b<ab<0    B.ab<a＋b<0

C.a＋b<0<ab    D.ab<0<a＋b

【答案】B

【解析】由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0<＋<1，得0<<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab<a＋b<0.

5．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于(　　)

A．6                                    B．7 

C．8                                    D．7或8

【答案】B

【解析】盈利总额为21n－9－＝－n2＋n－9，

由于对称轴为n＝，所以当n＝7时，取最大值，故选B.

6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝cosx，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　)

A.2   B.3   

C.4   D.5

【答案】A

【解析】由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2.令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.

作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.

由图象知，函数y＝f(x)－|x|有两个零点.

二、填空题

7.已知λ∈R，函数f(x)＝若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.

【答案】(1，3]∪(4，＋∞)

【解析】令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4.当x<λ时，x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3.若函数f(x)恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.

8.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝______，b＝________.

【答案】4　2

【解析】设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b2，因此ab＝(b2)b＝b2b＝ba，∴a＝2b，b2＝2b，又b＞1，解得b＝2，a＝4.

9.已知a，b，c为正实数，且ln a＝a－1，bln b＝1，cec＝1，则a，b，c的大小关系是________.

【答案】c＜a＜b

【解析】ln a＝a－1，ln b＝，ec＝.

依次作出y＝ex，y＝ln x，y＝x－1，y＝这四个函数的图象，如下图所示.

由图象可知0＜c＜1，a＝1，b＞1，∴c＜a＜b.

三、解答题

10.已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，求实数a的取值范围.

【解析】∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝，∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝＝f(x)，

∴函数f(x)的周期为2，

又x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，

∴x∈[0，1]时，f(x)＝f(－x)＝x2，从而f(x)＝x2，x∈[－1，1].

在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1，3]内有3个交点.

当0<a<1时，函数图象无交点，数形结合可得a>1且解得3<a<5.故实数a的取值范围为(3，5).

B组  专题综合练

11.已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　　)

A.4   B.5   C.6   D.3

【答案】A

【解析】当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，

当0＜x＜1时，f(x)单调递减，x＞1时，f(x)单调递增，

可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，

作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，

解得t＝3或，当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；

当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，

综上，g(x)共有四个零点.

12.记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x－2不存在“S点”；

(2)若函数f(x)＝ax2－1与g(x)＝ln x存在“S点”，求实数a的值.

【解析】(1)函数f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2，

则f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2.

由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得

此方程组无解，

因此，f(x)与g(x)不存在“S点”.

(2)函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln x，

则f′(x)＝2ax，g′(x)＝.

设x0为f(x)与g(x)的“S点”，

由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得

即　(*)

得ln x0＝－，即x0＝e－，则a＝＝.

当a＝时，x0＝e－满足方程组(*)，

即x0为f(x)与g(x)的“S点”.因此，a的值为.