(新高考)高考数学二轮复习讲义02《三角恒等变换与解三角形》(解析版)

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02  三角恒等变换与解三角形核心考点读高考设问知考法命题解读三角恒等变换【2018新课标2理10文11】已知，，则(     )1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.【2020新课标3文5】已知，则（  ）【2018新课标2理15】已知，，则__________．正弦定理、余弦定理【2020新课标3文11】在中，，，，则（    ）【2020新课标3理7】在中，，，，则（    ）【2019新课标1文11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=(     )【2020新课标1文18】的内角的对边分别为，已知．（1）若，，求的面积；（2）若，求．【2020新课标2理17】中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．【2020新高考全国17】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?解三角形与三角函数的综合问题【2018天津卷17】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.  (1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. 核心考点一  三角恒等变换三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.1.【2018新课标2理10文11】已知，，则(     )A．                B．              C．             D． 【答案】B【解析】，．，又，，又，，故选B．2.【2018新课标2理15】已知，，则__________．【答案】【解析】，，，，，因此．1.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)A.                 B.                 C.               D.【答案】C【解析】　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝，故选C．2.已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan等于(　　)A.   B.－   C.3   D.－3【答案】A【解析】(1)由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，又x∈(0，π)，则tan x＝2，故tan＝＝.故选A．3.已知tan α＝－3，则sin＝(　　)A.   B.－   C.   D.－【答案】D【解析】　(1)由题意，得sin＝sin＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选D.4.已知α，β均为锐角，且α＋β≠，若sin(2α＋β)＝sin β，则＝________.【答案】5【解析】因为sin(2α＋β)＝sin β，则2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]∴2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝5tan α，故＝5.核心考点二  正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.(2)余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.(3)三角形面积公式：S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.1.【2020新课标3理7】在中，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】方法1：根据余弦定理，即，由，故选A．方法2：为等腰三角形，则，故，故选A．2．【2019新课标1文11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=(     )A． 6 B． 5 C． 4 D． 3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，，故选A．3．【2020新课标1文18】的内角的对边分别为，已知．（1）若，，求的面积；（2）若，求．【解析】（1）由余弦定理可得：，，即的面积；（2），，，．4．【2020新高考全国17】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①的【解析】：由可得，不妨设，则，即．据此可得，，此时．选择条件②的【解析】：由可得，不妨设，则，即．据此可得，则，此时，则．选择条件③的【解析】：由可得，不妨设，则，即．据此可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)A.4π   B.8π C.9π   D.36π【答案】C【解析】　由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2Rsin C＝2.又cos C＝及C∈(0，π)，知sin C＝.∴2R＝＝6，R＝3.故△ABC外接圆面积S＝πR2＝9π.故选C.2.（多选题）在△ABC中，点D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若CB＝2CD，cos ∠CDB＝－，则(　　)A.sin ∠CDB＝                        B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8＋4                D.△ABC为钝角三角形【答案】　BCD【解析】因为cos ∠CDB＝－，所以sin ∠CDB＝＝，A错误.设CD＝a，则BC＝2a.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos ∠CDB，即4a2＝a2＋9－6a×，解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD·sin ∠CDB＝×3××＝3，所以S△ABC＝S△DBC＝8，B正确.因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos ∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos ∠CDB＝.在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos ∠ADC＝25＋5－2×5××＝20，解得AC＝2.所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2＋2＝8＋4，C正确.因为cos ∠BCA＝＝－<0，所以∠BCA为钝角，所以△ABC为钝角三角形，D正确.故选BCD.3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).(1)求角C；(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.条件①：S△ABC＝4且B>A；条件②：cos B＝.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【解析】(1)已知2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).由余弦定理，得2b2＝2bccos A·(1－tan A)，所以b＝c(cos A－sin A).由正弦定理，得sin B＝sin C(cos A－sin A)，所以sin(A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A，所以sin Acos C＝－sin Csin A，又sin A≠0，所以tan C＝－1，又C∈(0，π)，所以C＝π.(2)若选择条件①：S△ABC＝4且B>A.因为S△ABC＝4＝absin C＝absin ，所以ab＝8.由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ，所以a2＋b2＋ab＝40.由解得或因为B>A，所以b>a，所以所以CD＝.在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos C＝16＋2－2×4×cos ＝26，所以AD＝.若选择条件②：cos B＝.因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝.因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝，所以结合正弦定理＝，得a＝＝2.在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝(2)2＋()2－2×2××＝26，解得AD＝.4.在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcos C＋4c＝5a，两个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________.(1)求tan B的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【解析】选择条件①：(1)由题意得8acsin B＝3(a2＋c2－b2)，即4sin B＝3·，整理可得3cos B－4sin B＝0.又sin B>0，所以cos B>0，所以tan B＝＝.(2)由tan B＝，得sin B＝.又S＝42，a＝10，所以S＝acsin B＝×10c×＝42，解得c＝14.将S＝42，a＝10，c＝14代入3c2＝16S＋3(b2－a2)，得3×142＝16×42＋3(b2－102)，解得b＝6.选择条件②：(1)已知5bcos C＋4c＝5a，由正弦定理，得5sin Bcos C＋4sin C＝5sin A，即5sin Bcos C＋4sin C＝5sin(B＋C)，即sin C(4－5cos B)＝0.在△ABC中，因为sin C≠0，所以cos B＝.所以sin B＝＝，所以tan B＝.(2)由S＝acsin B＝×10c×＝42，解得c＝14.又a＝10，所以b2＝100＋196－2×140×＝72，所以b＝6.核心考点三  解三角形与三角函数的综合问题1.【2018天津卷】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，所以tan B＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.由bsin A＝acos，可得sin A＝ .因为a<c，所以cos A＝ .因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.1.已知函数f(x)＝2cos2x＋sin－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝，若b＋c＝2a，且·＝6，求a的值．【解析】(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝cos 2x＋sin 2x＝sin.∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由f(A)＝sin＝，可得2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)．∵A∈(0，π)，∴A＝，∵·＝bccos A＝bc＝6，∴bc＝12，又∵2a＝b＋c，∴cos A＝＝－1＝－1＝－1，∴a＝2.