(新高考)高考数学二轮复习讲义05《空间几何体的表面积和体积》(解析版)

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05 空间几何体的表面积和体积核心考点读高考设问知考法命题解读空间几何体的表面积【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(   )简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_______．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥中，，且（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．【2015新课标1文18】如图四边形为菱形，为与交点，平面， （I）证明：平面平面；（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．空间几何体的体积【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为________．【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________．【2020新课标1文19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面⊥平面；（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．多面体与球的切、接问题【2020新课标1理10文12】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）【2020新课标2理10文11】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为（    ）【2020新课标3理15文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【2020新高考全国16】已知直四棱柱的棱长均为，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．【2017新课标1文16】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为          ．【2019新课标1理12】已知三棱锥P‒ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是、的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为(    ) 核心考点一  空间几何体的表面积柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.1.【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(   )A．   B．    C．   D．【解析】截面面积为，所以高，底面半径，所以表面积为，故选B．2．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥中，，且（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．                  【解析】（1）由已知，得，．由于，故，从而平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面内作，垂足为．由（1）知，平面，故，可得平面．设，则由已知可得，．故四棱锥的体积．由题设得，故．从而，，．可得四棱锥的侧面积为．1．【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为，所以，，因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．2．【2015新课标1文18】如图四边形为菱形，为与交点，平面， （I）证明：平面平面；（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积． 【解析】(Ⅰ) ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC．∵ABCD为菱形，∴ BD⊥AC，∴AC⊥平面BED，又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED． (Ⅱ)设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°可得， AG=GC=，GB=GD=． 在RtΔAEC中，可得EG=．∴ 在RtΔEBG为直角三角形，可得BE=． ∴ ，解得x =2．由BA=BD=BC可得AE= ED=EC=．∴ΔAEC的面积为3，ΔEAD的面积与ΔECD的面积均为．所以三棱锥E-ACD的侧面积为．核心考点二  空间几何体的体积柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝πR3.1．【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为________．【解析】如下图所示，，，又，解得，所以，，所以该圆锥的体积为．2.【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________．【解析】由题意得， ，四棱锥O−EFG的高3cm， ∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量．3.【2020新课标1文19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面⊥平面；（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．           【解析】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，，，即，，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为．1.【2018江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是.则该正八面体的体积为×()2×1×2＝.2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为(　　)A.   B.   C.1   D.【解析】∵ ED⊥平面ABCD且AD⊂平面ABCD，∴ ED⊥AD.∵ 在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴ AD⊥平面CDEF.易知FC＝＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.∵ VE－ABCD＝ED×S正方形ABCD×＝2×2×2×＝，VB－EFC＝BC×S△EFC×＝2×2×1××＝，∴ VABCDEF＝＋＝.又VF－ABCD＝FC×S正方形ABCD×＝1×2×2×＝，VA－DEF＝AD×S△DEF×＝2×2×2××＝，VA－BEF＝－－＝.故选B.3．【2019新课标2文17】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．     【解析】（1）因为在长方体中，平面；平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面；（2）设长方体侧棱长为，则，由（1）可得；所以，即，又，所以，即，解得；取中点，连结，因为，则；所以平面，所以四棱锥的体积为．核心考点三  多面体与球的切、接问题球的相关性质：1、用一个平面去截球，截面是圆面；经过球心的平面截的圆叫大圆；不经过球心的平面截的圆叫小圆。2、球心和截面圆心的连线垂直于截面，即有多面体的外接球模型：1、长方体的外接球直径为体对角线，则；正方体的外接球半径为；正方体的内切球半径为。2、圆柱模型：在三棱锥中，已知平面，则外接球半径为，则，其中为外接圆半径。3、圆锥模型在正三棱锥中，先求出高线长，在中，解方程求出，其中为外接圆半径。4、正四面体（构造正方体）、对棱相对的三棱锥（构造长方体）            如上左：正四面体可构造如图正方体（所有面对角线相等）；如上右：对棱相等的三棱锥可构造如图长方体（对面的对角线相等）。1．【2020新课标1理10文12】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，由正弦定理，，根据球的截面性质平面，，球的表面积．故选A．2．【2020新课标2理10文11】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为（    ）A． B． C．1 D．【解析】设球的半径为，则，解得．设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形，，解得，，球心到平面的距离．故选C．3.【2019新课标1理12】已知三棱锥P‒ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是、的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为(    )A． B． C． D．【解析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D．1．【2020新课标3理15文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】方法1：等面积法易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，           由于，故，设内切圆半径为，则，解得，其体积．故答案为．方法2：几何法如右图，当球与圆锥内切时体积最大，设球的半径为，由题意知，圆锥的高．由得，则，故球的体积．故答案为．2.【2017新课标1文16】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为          ．【解析】取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，所以平面．设，，所以，即球的表面积为3．【2020新高考全国16】已知直四棱柱的棱长均为，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．【解析】如图，取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为2，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得．故答案为．