高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合教案设计

课程目标

学科素养

A. 理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.

B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.

C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.

1.数学抽象：排列的概念

2.逻辑推理：排列数的性质

3.数学运算：运用排列数解决计数问题

4.数学建模：将计数问题转化为排列问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    温故知新

两个原理的联系与区别

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.

2.区别

问题1.  从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.

分析：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动”，可以分两个步骤：

第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法；

第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有2种选法.

根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6.

问题如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

问题2. 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？

分析：从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解决：

第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方法；根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按百位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为4×3×2=24

因而共可得到24个不同的三位数，如图所示

   同样，问题2可以归结为：

      从4个不同的元素中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是

不同的排列方法为4×3×2=24

上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？

一、排列的相关概念

1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.

名师点析理解排列应注意的问题

(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.

(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.

1.下列问题中:

①10本不同的书分给10名同学,每人一本;

②10位同学互通一次电话;

③10位同学互通一封信;

④10个没有任何三点共线的点构成的线段.

属于排列的有(　　)

A.1个　　　　　　　B.2个 C.3个 D.4个

解析:由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.

答案:B

二、典例解析

例1. 某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？

分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.

解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为

6×5=30.

例2. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？

（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？

分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.

解： （1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

5×4×3=60.

（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；

最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.

按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

5×5×5=125.

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。

三、小结

四、课时练