人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合教案

课程目标

学科素养

A. 理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.

B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.

C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.

1.数学抽象：排列的概念

2.逻辑推理：排列数的性质

3.数学运算：运用排列数解决计数问题

4.数学建模：将计数问题转化为排列问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    温故知新

两个原理的联系与区别

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.

2.区别

一、排列数与排列数公式

1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做

   从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.

2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,这里m,n∈N*,并且m≤n.

3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.另外,我们规定,0!=1.

问题3. 你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?

“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.

例3. 计算：（1）

解：根据排列

（1）

（2）

（3）

（4）

由例3可以

即

例4.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。

解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：

第1步，确定百位上的数字可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个, 有种取法； 如图

根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 9×9×8648.

解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为=9×8×7+9×8+9×8=648.

解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，

即所求三位数的个数为10×9×89×8648.

1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.

2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.

跟踪训练 有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法?

解:(方法一　分类法)分两类:

第1类,化学被选上,有种不同的安排方法;

第2类,化学不被选上,有种不同的安排方法.

故共有=300(种)不同的安排方法.

(方法二　分步法)第1步,第四节有种排法;第2步,其余三节有种排法,故共有=300(种)不同的安排方法.

(方法三　间接法)从6门课程中选4门安排在上午,有种排法,而化学排第四节,有种排法,故共有=300(种)不同的安排方法.

通过引导学生回顾计数原理，进一步比较分析加深对两个计数原理得理解。

通过具体问题，分析、比较、归纳出对排列的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生熟悉排列和排列数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、小结

四、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。