人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理教案及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理教案及反思，共6页。教案主要包含了教学目标，教学过程，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
6.3.2　二项式系数的性质一、教学目标课标要求素养要求理解二项式系数的性质并灵活运用.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.二、教学过程二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝增减性与最大值增减性：当k＜时，C随k的增大而增大；由对称性可知，当k＞时，C随k的增大而减小.最大值：当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项与相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C＋C＋C＋…＋C＝2n②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 对二项式系数性质的三点说明(1)对称性：源于组合数的性质“C＝C”，基础是C＝C＝1，然后从两端向中间靠拢，便有C＝C，C＝C，….(2)最大值：①当n是偶数时，(a＋b)n的展开式共n＋1项，n＋1是奇数，这时展开式的形式是中间一项是第＋1项，它的二项式系数是，它是所有二项式系数中的最大值；②当n是奇数时，(a＋b)n的展开式共有n＋1项，n＋1是偶数，这时展开式的形式是中间两项是第，项，它们的二项式系数是，，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，源于(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn中，令a＝1，b＝1，即得到C＋C＋C＋…＋C＝2n. 题型一　二项展开式的系数的和问题【例1】　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解　令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.【迁移1】　(变换所求)例1条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.解　∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【迁移2】　(变换所求)例1条件不变，求a1＋a3＋a5的值.解　由上题得两式相减得a1＋a3＋a5＝×(1－243)＝－121.思维升华　(1)赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.(2)一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0).【训练1】　已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：(1)a0＋a1＋…＋a8；(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝×(28＋48)＝32 896.(3)由于(1－3x)8＝C＋C×(－3x)＋C×(－3x)2＋…＋C×(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65 536.题型二　二项式系数性质的应用【例2】　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.解　令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C3·(3x2)2＝90x6，T4＝C2·(3x2)3＝270x.(2)展开式的通项为Tk＋1＝C·3k·x(5＋2k)，假设Tk＋1项系数最大，则有∴即∴≤k≤.∵k∈N，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.思维升华　(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项.【训练2】　求(x－y)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和.解　(1)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.(2)(x－y)11的展开式的通项为Tk＋1＝Cx11－k(－y)k＝C(－1)kx11－kyk，∴项的系数的绝对值为|C·(－1)k|＝C，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T7＝Cx5y6，项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.(4)展开式中，二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.(5)令x＝y＝1，得展开式中各项系数的和为C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0.三、课堂小结1.牢记3个知识点二项式系数的性质(1)对称性；(2)增减性与最大值；(3)各二项式系数的和.2.掌握2种方法(1)用赋值法解决二项展开式系数和及有关问题的方法；(2)求二项式系数的最大项的方法.3.注意1个易错点二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.