【培优分级练】人教版数学八年级上册 15.2《分式的运算》培优三阶练（含解析）

15.2 分式的运算

知识点01  分式的乘除

1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

用式子表示为

【归纳】

分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．

（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．

（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．

（3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算．

（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．

（5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．

知识点02  分式的乘方

分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．

【注意】

（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成．

（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．

（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．

知识点03  分式的加减

1、同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．

用式子表示为．

2、异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

用式子表示为．

【注意】

（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．

（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．

（3）异分母分式相加减的一般步骤：

①通分：将异分母分式转化成同分母分式；

②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；

③合并：分子去括号，合并同类项；

④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．

知识点04  分式的混合运算

1、分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．

2、分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边．

知识点05  整数指数幂与科学记数法

1、整数指数幂：

若m，n为正整数，a≠0，则．

又因为，所以．

一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．

2、整数指数幂的运算性质

①；②；③；

④；⑤．

上述式子中，m，n均为任意整数．

3、科学记数法

用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10．

培优第一阶——基础过关练

1．计算的结果是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：．

故选A．

2．若，则x的值不可能是（     ）

A．－5 B．5 C．-6 D．4

【答案】A

【详解】解：由零指数幂公式得：，

解得：，

故选A．

3．下列运算正确的是（　　）

A．a5+a5=a10 B．a6×a5=a30 C．a0÷a-1=a D．a4﹣a4=a0

【答案】C

【详解】A.a5+a5=2a5，故A错误；

B. a6×a5=a11故B错误；

C.同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以a0÷a-1=a，故C正确；

D. a4﹣a4=0，故D错误；

故选：C．

4．下列算式，计算正确的有（    ）

①；②；③；④．

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【详解】解：①，此选项正确；

②，此选项正确；

③，故此选项错误；

④，故此选项错误．

故正确的有2个．

故选：B．

5．下列算式中，你认为正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】A．，故选项正确，符合题意；

B．，故选项错误，不符合题意；

C．，故选项错误，不符合题意；

D．，当c=0时，等式不成立，故选项错误，不符合题意；

故选：A．

6．计算＝_____．

【答案】6

【详解】解：原式

，

故答案为：6．

7．化简的结果是________．

【答案】##

【详解】解：

故答案为：．

8．计算

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）解：

；

（2）

．

9．若·a2m+1=a25，求m的值

【答案】m=9

【详解】解：∙，

，

∴，

∴，

解得：m=9．

10．化简分式（ +）÷，并在2，3，4，这三个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．

【答案】

【详解】解：原式＝

，

∵，

∴当时，原式．

培优第二阶——拓展培优练

1．分式－化简后的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：原式

故选：B

2．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】解：，故选项A错误；

，故选项B错误；

，故选项C正确；

，故选项D错误；

故选：C．

3．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ）

A．1 B．x C． D．4

【答案】C

【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意；

B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意；

C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意；

D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意．

故选：C．

4．已知（且），，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：∵（且），

∴

⋯⋯

∵2022÷3=674

∴

故选：A

5．下列计算 ①；②；③ ；④；⑤正确的有（          ）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【答案】A

【详解】解：，故①错误；

，故②错误；

，故③正确；

，故④错误；

，，不一定等于，故⑤错误，

综上，正确的有③，共1个，

故选：A

6．，则 =________．

【答案】

【详解】解：

把代入得：

故答案为：

7．已知a为范围的整数，则的值是______．

【答案】-1

【详解】解：

，

根据题意有：，，，

即，，，

∵，且为整数，

∴，

将代入，有原式，

故答案为：-1．

8．计算

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)﹣

【详解】（1）解：

＝；

（2）解：

＝

＝

＝

＝；

（3）解：

＝

＝

＝；

（4）解：

＝

＝﹣．

9．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0．

【答案】，1

【详解】解：原式＝÷

＝÷

＝

＝，

∵|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，

∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，即a＝3，b＝2，

当a＝3，b＝2时，

原式==1．

10．已知：，，，…，若（，都是正整数），

(1)直接写出、的值，_____________，________________．

(2)求分式的值

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）解：观察题目

可得，

故答案为：，

（2）解：原式=

=

将，代入

培优第三阶——中考沙场点兵

1．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；

B、，选项错误，不符合题意；

C、，选项正确，符合题意；

D、，选项错误，不符合题意；

故选：C．

2．下列运算中，正确的是(   )

A．x2+x2＝x4 B．3a3•2a2＝6a6

C．6y6÷2y2＝3y3 D．（﹣b2）3＝﹣b6

【答案】D

【详解】解：A. x2+x2＝2x2，故该选项不正确，不符合题意；

B. 3a3•2a2＝6a5，故该选项不正确，不符合题意；

C. 6y6÷2y2＝3y4，故该选项不正确，不符合题意；

D. （﹣b2）3＝﹣b6，故该选项正确，符合题意．

故选D．

3．若m－n＝2，则代数式的值是（    ）

A．－2 B．2 C．－4 D．4

【答案】D

【详解】解：原式•

＝2（m-n），

当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．

故选：D．

4．试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：★=

★=

★=

=，

故选A．

5．已知，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：

，

∵，

∴，

∴，

∵a>b>0，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵a>b>0，

∴，

∴原式=

，

故选：B．

6．计算：﹣＝_____．

【答案】2

【详解】解：﹣

＝

＝

＝2．

故答案为：2.

7．已知a、b为实数，且，设，则M、N的大小关系是M________ N（填=、>、<、≥、≤）．

【答案】=

【详解】解：，

，

∵，

∴，

∴M＝N，

故答案为：＝．

8．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【详解】(1)解：

=

=

(2)解：

=

=

=

9．先化简，再求值：，其中，．

【答案】ab，4

【详解】解：原式．

当，时，原式．

10．下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．

第一步

第二步

第三步

第四步

任务一：填空

①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．

②第______步开始出现错误，错误的原因是______．

任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．

【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：

【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．

第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．

故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．

任务二：

．