【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 4.3《对数》培优分阶练（含解析）

4.3  对数 培优第一阶——基础过关练一、单选题1.下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是(　　)A．与                   B．与C．与                   D．与答案 解析 指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于，或．故选．2.下列四个等式：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是　　A．①③ B．②④ C．①② D．③④答案 解析 因为，所以，故正确；，故正确；由可得，故错误；由可得，故错误；故选：．3. 若，则的大小关系是(　　)   答案 解析 由，可得，故，由，可得故，由，可得，故，．故选：．4.若，，则等于(　　)．          ．        ．            ．答案  解析  ==，，，=，故选：．5.实数满足，则下列关系正确的是(　　)A．  B． C． D．答案 解析 ，，，，，故选：．二、多选题 6. 下列计算正确的是(     )A． B． C． D．答案 解析 对于，故选项正确，对于，故选项正确，对于，故选项错误，对于，故选项错误，故选：．三、填空题  7.已知，若，则　　．答案  解析 ，，，，.8.若，则　　     (用表示).答案 解析 由，得，所以．9.已知，，则　　  ；　　   ．答案 ，解析 因为，所以，又，则． 四、解答题10.化简．答案  解析  ．11.计算．答案 解析 原式．12.抽气机每次抽出容器内空气的，要使容器内的空气少于原来的，则至少要抽几次？答案  解析 设至少抽次可使容器内空气少于原来的，则(设原先容器中的空气体积为，即，两边取常用对数得，所以．故至少需要抽次．    培优第二阶——拓展培优练一、单选题1. 设正实数满足，下面成立的是(　　)． ．  ．答案  解析 正实数满足，设，，则，，．故选：．2.若，且，则的值(　　)   ．不是常数答案  解析  ，且，，，．故选：．3.设，，当取最小值时的值为(　　)   答案 解析 ．，，当取最小值时的值为．故选：．4. 已知正数满足，则下列结论不可能成立的是(　　)． ． ． ．答案  解析 设，则，，；时，；时，；时，．故选：．5. 若正实数满足，则的最小值是(　　)   答案  解析 ，，即．可得：．，当且仅当时取等．令，则，解得：，即．故选：．二、多选题 6. 设，，则(     )A． B． C． D．答案 解析 因为，，所以，所以，所以，所以．因为，所以，所以，故选：BC．三、填空题  7.正数满足，则的值是        .答案 解析 依题意，设，则，所以．8.若，且，，，则的值是         . 答案  解析 令．则．，，则．9.若，则的最小值是         . 答案  解析 ，，，即，即，，当且仅当，即取等号，故的最小值是．四、解答题10.已知，若，，求．答案 解析 设，由知，代入，即，解得或(舍去)，所以，即，因为，所以，则，解得，则.  培优第三阶——高考沙场点兵1.(2020•新课标Ⅰ)设，则 (     )A． B． C． D．答案 解析 因为，则，则，则，故选：．2. (2021•天津)若，则 (     )A． B． C． D．答案 解析 ，，，，故选：．3. (2022•浙江)已知，，则 (     )A． B． C． D．答案  解析 由，，可得，则，故选：．4.(2021•湖北模拟)已知实数满足，，则 (     )A． B． C． D．答案 解析 实数满足，，，令，则为单调函数，则，，且，，．故选：．5.(2019•洛阳三模)若，且，则(     )A． B． C． D．答案 解析 ，且，，，，，，因为，，所以，同理，，所以，所以，又因为在上单调递减，即．故选：．6.(2022•广东模拟)(多选) 已知实数满足，则下列结论正确的是(     )A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为答案 解析 由题意对数的运算性质因为，则可得；则由基本不等式有，即，当且仅当时，即时等号成立，故项正确，项错误；因为，，则两边同除可得，，当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为，故项错误；因为，，当且仅当时，即时等号成立，故项正确．故选：． 7.(2019•普陀区二模)设实数满足，且，，则　　  .答案 解析 由，且，可得，，．，，，又，可得，，，，则或，或，或．由对称思想，不妨，则．．