【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第3.1练《椭圆》培优分阶练（含解析）

第3.1练 椭圆培优第一阶——基础过关练一、单选题1．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（     ）A．1 B．3 C．5 D．9【答案】A【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得,又，故.故选：A.2．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（       ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【详解】椭圆上的点P满足，当点P为的延长线与C的交点时，达到最大值，最大值为．故选：B3．已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（       ）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【详解】由三角形面积公式可知，当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，其中，则△面积的最大值是，故选：.4．下列与椭圆焦点相同的椭圆是（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；故答案为：D.5．已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（       ）A． B．，C． D．，【答案】A【详解】因为椭圆方程为=1，所以椭圆得离心率，设点M到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有：，所以，所以表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和，当垂直于右准线时，取得最小值.此时的纵坐标为-1，代入椭圆方程=1，求得的横坐标为.所以点M坐标为，故B，C，D错误.故选：A.6．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（       ）A．3 B．5 C． D．13【答案】B【详解】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：，当点P在点处，取等号，所以的最大值为5，故选：B.7．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，由正弦定理得，解得，则故选：D.8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（       ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】设焦距为．因为的周长为18，所以，所以．因为长半轴长为5，即所以椭圆C的离心率为故选：B．9．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是的中点，是的中点，所以，因为平分，所以，因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．故选：A．10．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】椭圆的，如图，设椭圆的右焦点为 ，则 ； ；由图形知，当在直线 上时， ，当不在直线 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有， ，当在 的延长线上时， 取得最小值的最小值为．故选：C．二、多选题11．已知椭圆：，则下列关于椭圆的结论正确的是（       ）A．焦点坐标为， B．长轴长为C．离心率为 D．直线与无交点【答案】BC【详解】由椭圆方程知：椭圆焦点在轴上，，，；对于A，焦点坐标为，，A错误；对于B，长轴长，B正确；对于C，离心率，C正确；对于D，由得：，则，直线与交于两点，D错误.故选：BC.12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（       ）A．椭圆的长轴长为B．线段AB长度的取值范围是C．面积的最小值是4D．的周长为【答案】ABD【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；，由椭圆性质可知，所以，B正确；记，则取，则，C错误；由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.故选：ABD三、解答题13．椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程．【答案】【详解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴，又，， ∴椭圆的方程为．14．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由题意得，解得，又因为点在椭圆C上，带入得，所以椭圆的标准方程为.(2)解：易得直线l的解析式为，设，联立椭圆的方程得，所以．15．已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)设椭圆的半焦距为，，将代入得，所以，因为点是椭圆上一动点，所以，所以面积，由，求得，所以椭圆的方程为：.(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线与椭圆相切，所以，得，因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以，所以，将代入直线可得，所以，所以，，将代入上式，得，所以为定值.培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】设椭圆的上焦点为，显然，因为过原点的直线交于点，所以有，因此四边形是平行四边形，又因为，所以有，因此三角形是以为斜边的直角三角形，因为，所以，因为是平行四边形，所以，由椭圆的定义可知：，故选：A2．已知椭圆的左､右焦点分别为､，点､均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，，则椭圆通径为，又，所以在上，即通径上，故轴，又，易知：.故选：C3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为．则椭圆C的标准方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为，则，解得，∴椭圆的标准方程为，故选：C．4．已知椭圆，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若，则M的方程为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由于坐标原点O在以AF为直径的圆上，故可设为上顶点，为右焦点，为左焦点.则，，由余弦定理得，，结合解得.所以的方程为.故选：A5．设M是椭圆C：的上顶点，P是C上的一个动点，当P运动到下顶点时，取得最大值，则C的离心率的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，，因为，，所以，，由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即．故选：C．6．椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（       ）A．1 B．C． D．或【答案】C【详解】设过点的切线为，分别做于点，做交轴于点，所得是的中位线，设，入射角和反射角相等，则，则，因为，当为上顶点时，为，因为，，所以，即，，，故选：C.二、多选题7．已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M，N是曲线F上位于x轴上方的点，且，则下列说法正确的有（       ）A．动点P的轨迹方程为 B．△PAB面积的最大值为C．的最大值为5 D．的最小值为【答案】BCD【详解】由题意得，设点，则，由，得，整理，得，即动点P的轨迹方程为，故A错误；当点运动到椭圆的上顶点时，的面积最大，此时，故B正确；由椭圆的定义，得，而，当且仅当三点共线且点P位于第四象限时等号成立，所以，故C正确；由椭圆的焦半径公式，得，(其中)，有，当即时，取得最小值，此时，得，所以，故D正确.故选：BCD.8．第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（       ）A．B．C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为.【答案】BCD【详解】A：由且，则，即，故错误；B：由，得，则，所以，故正确；C：满足椭圆方程，又，则，所以，，故正确；D：由对称性知：、关于轴对称，，，，，，，则，，故正确.故选：BCD.三、解答题9．设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．(1)求椭圆和的方程；(2)若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．【答案】(1)，.(2)不存在，理由见解析【解析】(1)解：由题意可设椭圆的标准方程为，椭圆的离心率，，，，将点代入椭圆的方程得：，联立解得：，椭圆的方程为：，，轴，，的方程为：；(2)由、在圆上得，设，，，同理：，若，则，即，，由得，得，无解，故不存在．10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．(1)求的方程；(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2).【解析】(1)设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，即有，解得，又离心率，解得，所以椭圆的方程为.(2)由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，由消去x并整理得：，解得点，则点，直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，直线的斜率，因此，，所以是定值.