【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第3.2练《双曲线》培优分阶练（含解析）

第3.2练 双曲线培优第一阶——基础过关练一、单选题1．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ）A．24 B． C． D．30【答案】A【详解】由，可得又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则则的面积等于故选：A2．双曲线的实轴长度是（       ）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【详解】的，所以.故双曲线的实轴长度是.故选：D.3．双曲线的渐近线方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由双曲线得，所以渐近线方程为，故选：B4．已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（       ）A．2 B． C．3 D．【答案】A【详解】由是一个等边三角形，可得即，则有，即则双曲线C的离心率故选：A5．已知是双曲线C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则y0的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意得，因为，所以，， 因为，所以，解得故选：A6．已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心（0,2）到直线的距离，解得，所以或（舍）.故选：B7．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为： 故选：C.8．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（       ）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【详解】椭圆，，所以.设以为直径的圆圆心为，如图所示：因为圆与圆外切，所以，因为，，所以，所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.即，曲线.所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C9．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（       ）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，由到的距离为，而，所以，综上，，同理，则，对于双曲线，有且，所以，而，即.故选：D10．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（       ）A．B．双曲线C的渐近线方程为C．若，则的面积为D．曲线的离心率为【答案】D【详解】由，可得，设，则，即，∴，设，则，，所以，即，又，，所以，∴，即，故A错误；所以双曲线，，双曲线C的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D正确；若，则，所以，的面积为1，故C错误. 故选：D.二、多选题11．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（       ）A． B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．【答案】CD【详解】双曲线：焦点在轴上，，，对于A选项，，而点在哪支上并不确定，故A错误对于B选项，焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，故B错误对于C选项，，故C正确对于D选项，设，则（时取等号）因为为的中点，所以，故D正确故选：CD12．已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ）A．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 B．曲线可能是圆C．若，则曲线一定是双曲线 D．若为双曲线，则渐近线方程为【答案】BD【详解】解：因为曲线的方程为，对于A：曲线为焦点在轴上的椭圆，则，即，故A错误；对于B：当时曲线表示圆，故B正确；对于C：若，满足，曲线为，表示圆，故C错误；对于D：若为双曲线，则，当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D正确；故选：BD三、解答题13．已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.【答案】当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；当时，轨迹是射线，轨迹方程为；当时，点不存在.【解析】当时，易知，即点在的垂直平分线上，故P点的轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，由，知P点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，又知，故轨迹方程为；当时，由知P点的轨迹是射线，轨迹方程为；当时，显然满足的点不存在.综上：当时，轨迹是直线，轨迹方程为：；当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为；当时，轨迹是射线，轨迹方程为；当时，点不存在.14．已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，.(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；(2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意，，，则，，直线的方程为.所以，点到的距离为.(2)由题意，，，其中，，则直线的斜率.双曲线的一条渐近线，其斜率为.因为直线与直线垂直，所以.代入可得，，又因为，所以，两边同除以，可得，解得.又因为，所以.15．已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)(2)证明见解析，【解析】(1)由题意，解得，，故双曲线方程为(2)设点，，设直线的方程为，代入双曲线方程，得，，，，同理，.培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．－＝4表示的曲线方程为（       ）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)【答案】C【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.根据双曲线定义可知， 所以   由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大所以 即曲线方程为故选：C.2．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（       ）．A． B． C．5 D．【答案】B【详解】因为双曲线两条渐近线方程是，故可设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，故，故双曲线的方程为，其离心率为故选：B3．已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，是的中点，所以，，则，，解得，所以双曲线方程为．故选：D．4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方程是（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：由，即，又，且，解得或（舍去），由且为的中点，知，∴，∴，∴，又，∴，∴渐近线方程为.故选：A5．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接，，即为等边三角形，由对称性可知，，，，，整理得，解得（舍）故选：C6．设，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点．若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，因为点是双曲线和椭圆的交点，根据椭圆和双曲线的定义可知，所以，又因为，所以有，即，化简有，因为椭圆离心率，所以，即，，令所以有，在时单调递减所以有.故选：C二、多选题7．已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（       ）A．过点与只有一个公共点的直线有2条B．若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上C．过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值D．若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则【答案】BCD【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误；对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线的对称点为，则，解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确；对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确；对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确．故选:BCD．8．若曲线C的方程为，则（       ）A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为C．当时，曲线C表示圆，半径为1D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4【答案】BC【详解】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；选项D，曲线C表示椭圆时，或，时，，，，时，，，，所以，即，无最大值．D错．故选：BC．三、解答题9．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.(1)求C的方程；(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为，则，且，解得，.所以C的方程为.(2)设，，直线l的斜率为k，则，两式相减，得，即，所以，即.直线l的方程为，即.经检验，直线与双曲线C有两个交点，满足条件，所以，直线l的方程为.10．已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线距离为．(1)求椭圆的方程；(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，依题意，，椭圆上顶点为到直线的距离，解得，所以椭圆的方程为．(2)依题意，设直线l的方程为，、，点，由消去y并整理得，则，，直线FA、FB的斜率之和为，即，有，整理得，此时，，否则，直线l过F点，因此当且，即且时，直线l与椭圆交于两点，直线l：，所以符合条件的动直线l过定点．