鲁科版高中物理必修第一册第4章素养培优课2平衡条件的应用课件+学案+练习含答案

素养培优课(二)　平衡条件的应用

[培优目标]　

1．掌握解决静态平衡问题的常用方法。　

2．学会用解析法、图解法、三角形相似法解决动态平衡问题。

3．掌握解决临界问题和极值问题的方法。

考点1　静态平衡问题

1．静态平衡的定义

静态平衡是指物体在共点力的作用下保持静止状态时的平衡。

2．静态平衡的理解

(1)运动学特征：处于静态平衡的物体速度为零。

(2)平衡条件：处于静态平衡的物体所受的合力为零。

(3)实例：日常生活中，三角形支架以其优越的平衡稳定性被广泛采用。如：大型展览馆、体育馆屋顶的钢架结构，马路边的路灯支架，建筑工地的塔吊支架等静态平衡装置大多采用三角形结构。

【典例1】　沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点，如图所示，足球的质量为m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。

思路点拨：①球处于静止状态，所受合外力为零。

②选取球为研究对象可采用合成法、分解法、正交分解法求解。

[解析]　方法一：用合成法取足球和网兜作为研究对象，它们受重力G＝mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力作用而平衡。由共点力平衡的条件可知，N和T的合力F与G大小相等、方向相反，即F＝G，作平行四边形如图所示。由三角形知识得：N＝Ftan α＝mgtan α，T＝＝。

方法二：用分解法取足球和网兜作为研究对象，其受重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，将重力分解为F′1和F′2。由共点力平衡条件可知，N与F′1的合力必为零，T与F′2的合力也必为零，

所以N＝F′1＝mgtan α，T＝F′2＝。

方法三：用正交分解法求解

取足球和网兜作为研究对象，受三个力作用，重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进行分解。由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零，即

Fx合＝N－Tsin α＝0 ①

Fy合＝Tcos α－G＝0 ②

由②式解得：T＝＝

代入①式得：N＝Tsin α＝mgtan α。

[答案]　　mgtan α

解决静态平衡问题的方法及步骤

(1)处理平衡问题，常用的方法有合成法、分解法、相似三角形法、正交分解法等。

(2)应用平衡条件解题的步骤

①明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)；

②对研究对象进行受力分析；

③建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程；

④求解方程，并讨论结果。

1．如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为   (　　)

A．　　　　　　 B．

C．   D．

C　[解法一：正交分解法

如图甲所示为小球的受力情况，其中F为弹簧的弹力，由几何关系可知，弹力F与斜面之间的夹角为30°。将小球所受的重力mg和弹力F分别沿平行于斜面和垂直于斜面的方向进行正交分解，由共点力的平衡条件知，弹力F沿斜面向上的分力与重力mg沿斜面向下的分力大小相等，即Fcos 30°＝mgsin 30°，由胡克定律得F＝kx，联立解得弹簧的伸长量x＝，选项C正确。

甲　　　　　　　　　乙

解法二：合成法

如图乙所示，将弹力F和斜面对小球的支持力FN直接合成，图中的F′即为两力的合力。

由几何关系可知，图中α＝120°，β＝30°，由正弦定理可得＝，而弹力F＝kx，联立解得弹簧的伸长量x＝。]

考点2　动态平衡问题

动态平衡问题是指物体的状态发生缓慢变化，可以认为任一时刻都处于平衡状态。分析此类问题时，常用方法见下表：

　解析法和图解法的应用

【典例2】　(2020·辽宁大连高一上期中)如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为FN1，木板对球的压力大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中(　　)

A．FN1始终减小，FN2始终增大

B．FN1始终减小，FN2始终减小

C．FN1先增大后减小，FN2始终减小

D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大

B　[解法一：解析法

如图甲所示，因为FN1＝，FN2＝，θ逐渐增大到90°，tan θ、sin θ都增大，FN1、FN2都逐渐减小，所以选项B正确。

甲　　　　　　　　　乙

解法二：图解法

如图乙所示，把mg按它的两个效果进行分解。在木板缓慢转动时，FN1的方向不变，mg、FN1、FN2应构成一个闭合的三角形。FN2始终垂直于木板，随木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时，FN2变小，FN1也变小，选项B正确。]

　三角形相似法的应用

【典例3】　一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆B端所受的压力FN的大小变化情况是   (　　)

A．FN先减小后增大　　　 B．FN始终不变

C．F先减小后增大   D．F始终不变

B　[取杆BO的B端为研究对象，受到AB间细绳的拉力(大小为F)、杆BO的支持力FN和悬挂重物的细绳的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与AB间细绳上拉力F等大反向，如图所示，将三个力相连构成封闭的三角形(如图中画竖线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO长为H，BO长为L，绳长为l，利用相似三角形可得＝＝，式中G、H、L均保持不变，l逐渐变小，则FN不变，F逐渐变小。B正确。]

2．(角度1)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。则把柱状物体A向右缓慢移动少许的过程中，下列判断正确的是(　　)

A．球B对墙的压力增大

B．球B对柱状物体A的压力增大

C．地面对柱状物体A的摩擦力不变

D．地面对柱状物体A的支持力不变

D　[球B受重力、柱状物体A的支持力F1和墙的支持力F2，如图甲所示，设F1与竖直方向的夹角为θ，将重力G分解为G1和G2，根据平衡条件可知，F1＝G1＝，F2＝G2＝Gtan θ。把柱状物体A向右缓慢移动少许的过程中，根据几何关系可知，柱状物体A对球B的支持力F1与竖直方向的夹角θ减小，所以cos θ增大，tan θ减小，即墙壁对球B的支持力F2减小，A对球B的支持力F1减小，则球B对墙的压力减小，球B对柱状物体A的压力也减小，选项A、B错误；对A、B整体进行受力分析，如图乙所示，由平衡条件可知，柱状物体A受地面的摩擦力大小Ff＝F2，则Ff减小，地面对柱状物体A的支持力等于A、B的重力之和，大小不变，选项C错误，D正确。]

甲　　　　　　　　　乙

3．(角度2)(多选)如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小定滑轮，轻绳的一端系一小球，小球靠在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A点移动到半球面的顶点B的过程中，半球形物体对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)

A．FN变大　　　　　　 B．FN不变

C．FT变小   D．FT先变小后变大

BC　[以小球为研究对象，小球受重力G、绳的拉力FT和半球形物体的支持力FN，作出FN、FT的合力F，如图所示，由平衡条件可知，F＝G，由相似三角形知识得＝＝，解得FN＝G，FT＝G。由题知，缓慢地将小球从A点拉到B点过程中，O1O、AO不变，O1A变小，可见FT变小，FN不变，B、C正确。]

考点3　平衡问题中的临界问题和极值问题

1．临界问题

(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。

(2)问题特点

①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。

②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。

(3)分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。

2．极值问题

(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。

(2)分析方法

①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或根据物理临界条件求极值。

②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。

【典例4】　如图所示，小球的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于小球上，AC绳水平，AB绳与AC绳成θ＝60°角，在小球上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，取g＝10 m/s2。若要使绳都能拉直，求拉力F的大小范围。

思路点拨：因为绳都能拉直，所以各个夹角不变化。分两种情况，即第一种是FB＝0时，第二种是FC＝0时，分别解出即可。

[解析]　小球受重力mg、AB拉力FB、AC拉力FC和F作用处于平衡状态，如图所示。

由，

有

要两绳伸直则应满足FB≥0，FC≥0

FB≥0时，F≤＝ N

FC≥0时，F≥＝ N

综上所述，F的大小范围为 N≤F≤ N。

[答案]　 N≤F≤ N

临界与极值问题的分析技巧

(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。

(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题；要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而作出判断或给出结论。

4．(2020·浙江杭州二中高一上期中)将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°，重力加速度为g，则F的最小值为   (　　)

A．mg　　　B．mg　　　C．mg　　　D．mg

B　[以a、b为整体，整体受重力2mg，细线OA的拉力FT及拉力F三个力而平衡，如图所示，三个力构成的矢量三角形中，当力F垂直于细线OA的拉力FT时有最小值，且最小值F＝2mgsin θ＝mg，B项正确。]