(新高考)高考数学全真模拟卷19（2份打包，解析版+原卷版）

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高考数学全真模拟卷（新高考专用）第十九模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（河南新乡市·高三一模（理））复数，则（    ）A．4 B．C． D．【答案】B【详解】由已知，，所以．故选：B.2．（江西九江市·九江七中高三期中（理））已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（    ）A．{0} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】B【详解】由，B＝{0，1，2，3}，所以.故选：B3．（全国高二课时练习）已知可导函数的导函数为，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】充分性：取，则，，当或时，，所以，函数在上单调递增，该函数无极值点，充分性不成立；必要性：由极值点的定义可以得出，可导函数的极值点为，则，必要性成立.因此，“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件.故选：B．4．（江西九江市·九江七中高三期中（理））已知a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则（    ）A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b【答案】D【详解】因为指数函数为减函数，且，所以，即；因为幂函数为增函数，且，所以，即，所以，故选：D5．（山西高三期中（文））函数在处的切线垂直于轴，且，则当取最小正数时，不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】，则，由题意可得，则，解得.，则，可得，解得.所以，当取最小正数时，，所以，.由可得，解得.因此，不等式的解集是.故选：C.6．（福建漳州市·龙海二中高三月考）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（    ）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】C【详解】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，所以，得．又由知，，所以当时，，故选：C．7．（湖北十堰市·高二期中）波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳乡，婴波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列，在数学上，裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足，现从该列前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，令，得，以此类推，可得数列的前12项依次是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.所以基本事件总数为12，其中满足能被3整除的有3,21,144，共计3种，故能被3整除的概率.故选：B.8．（河南新乡市·高三一模（理））已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：如图所示：，是双曲线的左右焦点，延长交于点，是的角平分线，，又点在双曲线上，，，又是的中点，是的中点，是的中位线，，即，在中，，，，由三角形两边之和大于第三边得：，两边平方得：，即，两边同除以并化简得：，解得：，又，，在中，由余弦定理可知，，在中，，即，又，解得：，又，,即， ，综上所述：.故选：B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（全国高三专题练习）已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是 （    ）A．的最大值为 B．的周期为C．的图象关于点对称 D．在上是增函数【答案】ABD【详解】解：，当，时，的最大值为，选项A描述准确；的周期,选项B描述准确；当时，，所以的图象关于点对称，选项C描述不准确；当时，，所以在上是增函数，选项D描述准确.故选：ABD.10．（全国高三专题练习）已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【详解】因为数列满足，，，所以， 两式相减得：，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列 的通项公式是，A. 令时， ，而 ，故错误；B. 令时， ，而 ，故错误；C. 当时， ，而 ，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；D. 因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；故选：CD11．（江阴市华士高级中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（    ）A． B．为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为 D．的面积为4【答案】AC【详解】过点向准线作垂线，垂足为，，设，如下图所示：A．因为，所以，又因为，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故结论正确；B．假设为等腰直角三角形，所以，所以四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；C．设直线的方程为，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；D．取，由上可知，所以，所以，故结论错误.故选：AC.12．（江苏南通市·高三月考）关于函数，下列说法正确的是（    ）A．当时，在处的切线方程为B．若函数在上恰有一个极值，则C．对任意，恒成立D．当时，在上恰有2个零点【答案】ABD【详解】解：对于A，当时，，，所以，故切点为（0，0），则，所以，故切线斜率为1，所以在处的切线方程为：，即，故A正确；对于B，，，则，若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，令，即在上恰有一个解，则在上恰有一个解，即与的图象在上恰有一个交点，，，令，解得：，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，极小值为，而，作出，的大致图象，如下：由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；对于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，设，，则，，令，解得：，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，，所以在上的最大值为，所以时，在上，恒成立，即当时，才恒成立，所以对任意，不恒成立，故C不正确；    对于D，当时，，，令，则，即，作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，则在上恰有2个零点，故D正确.故选：ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（河南新乡市·高三一模（文））已知函数在上的值域为，则的取值范围是______.【答案】【详解】解：因为，，而函数在上的值域为，所以结合函数的图像，可得的取值范围是.14．（上海普陀区·高三期中）已知：，且为第四象限角，则___________．【答案】【详解】由已知，又为第四象限角，∴，∴．故答案为：．15．（河北衡水市·衡水中学高三月考）已知的所有项的系数的和为64，则______，展开式中项的系数为______.【答案】1    15    【详解】令得，，解得，的展开式的通项，分别取与，得，，所以的展开式中含有的项的系数为，含有的项的系数为，所以展开式中项的系数为.故答案为：1；15.16．（浙江温州市·高二期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别是正方形和正方形的中心，为线段上的点（异于，），则和所成的角的大小是_______，三棱锥的体积为_________.【答案】        【详解】解：如图所示：连接，， 又，分别为， 的中点，，又，就是和所成的角，又平面，平面，，即 ，和所成的角的大小是；如图：连接，，， 平面，平面，平面，到平面的距离就等于到平面的距离，又正方体的棱长为，到平面的距离为，即三棱锥的高为 ，为等边三角形，，.故答案为：；.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（河南高三月考（理））在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）为边上的一点，且满足，，锐角三角形面积为，求的长.【答案】（1）；（2）.【详解】（1），由正弦定理可得，化简可得，，，.（2）因为锐角三角形的面积为，所以，，因为，所以，在三角形中，由余弦定理可得：，所以，在三角形中，，所以，在三角形中，，解得.18．（渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知数列满足，且构成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）为数列的前n项和，记，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）构成等比数列，∴，∴， ∴是一个等差数列，设其公差为，由得：，解得：，.（2）证明：由（1）知：，，∴是一个以为首项，以为公比的等比数列，∴， ∴，∴，，，，即.19．（河南新乡市·高三一模（理））甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．已知甲测试成绩的中位数为75．（1）求，的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为，其中①求，；②求证为等比数列，并求的表达式．【答案】（1）．，甲74.5，乙73.5；（2）①，；②证明见解析，.【详解】解：（1）∵甲测试成绩的中位数为75，∴，解得．∴，解得．同学甲的平均分为．同学乙的平均分为．（2）由（1）可知甲的平均分大于乙的平均分，则甲最先答题．①依题意知，，，②依题意知第次由甲答题，则若第次甲答题且答对，则第次甲答题；若第次乙答题且答错，则第次甲答题.所以．∴，．又，∴是以为首项，为比的等比数列，∴，∴．20．（山东枣庄市·高三期中）如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且，E，F分别是，的中点.（Ⅰ）若D是的中点，求证：平面AEF；（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，点M与点A重合.【详解】（Ⅰ）连接，，因为D，E分别是，的中点，故，平面，平面，所以平面.因为E，F分别是，的中点，所以，证平面，平面，所以平面，又，平面，平面AEF，所以平面平面，又平面，所以平面AEF，（Ⅱ）题意得AB，AC，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.因为，.设平面AEF的法向量为，由，得，令，得，，所以平面AEF的一个法向量为.设，又，所以.若直线与平面AEF所成角为，则.解得：或，即当点M与点A重合，或时，直线与平面AEF所成的角为.21．（河南新乡市·高三一模（理））已知函数（，且，为自然对数的底）．（1）求函数的单调区间．（2）若函数在有零点，证明：．【答案】（1）当时，增区间为，减区间为．当时，增区间为，减区间为；（2）证明见解析.【详解】（1）解：由，知．①当时，定义域为，由，得，由，得．②当时，定义域为，由，得，由，得．综上，当时，增区间为，减区间为．当时，增区间为，减区间为．（2）证明：因为有正零点，所以，由（1）知在上单调递减，在上单调递增．所以，即．对于函数，有，在上单调递减，在上单调递增，故，即不等式恒成立，当且仅当时，取等号．故当时，，即．在不等式中，取，可得，即，从而，所以，即．22．（江苏南京市·高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；②若△OPQ的面积为求直线l的方程.【答案】（1）； （2）①证明见解析，②或.【详解】（1）由题意椭圆C长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上，可得，解得，，所以椭圆的方程为.（2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，即，且，，因为直线与圆相切，所以，即，联立，得，设，，，，则有，，所以，所以，所以，即，即以为直径的圆过原点.②由①可得，，，所以，点到直线的距离为，可得，解得，或，当时，，当时，，所以，，或，，则直线方程为或.