人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测

第五章一元函数的导数及其应用

5.2　导数的运算

5.2.3　简单复合函数的导数

课后篇巩固提升

基础达标练

1.下列函数不是复合函数的是(　　)

A.y=-x3-+1 B.y=cosx+

C.y= D.y=(2x+3)4

解析A不是复合函数,B、C、D均是复合函数,其中B是由y=cos u,u=x+复合而成;C是由y=,u=ln x复合而成;D是由y=u4,u=2x+3复合而成.

答案A

2.(2020安徽高二期末)函数f(x)=sin2x的导数是 (　　)

A.2sin x B.2sin2x

C.2cos x D.sin 2x

解析将y=sin2x写成y=u2,u=sin x的形式.对外函数求导为y'=2u,对内函数求导为u'=cos x,故可以得到y=sin2x的导数为y'=2ucos x=2sin xcos x=sin 2x,故选D.

答案D

3.(2020福建高二期末)已知函数f(x)=,则f'(x)=(　　)

A. B.

C. D.

解析因为f(x)=,故f'(x)=,故选C.

答案C

4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.-1 D.-2

解析设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.

答案B

5.(多选)设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<2π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ的可能取值为(　　)

A. B. C. D.

解析f'(x)=-sin(x+φ),f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sinx+φ+.

若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,

即0=2sinφ+,

因此φ+=kπ(k∈Z).

又因为φ∈(0,2π),所以φ=或φ=.

答案AC

6.(2020海南中学高二期末)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(ln x)在x=e处的导数为,则f'(1)=　　　　. 

解析设g(x)=f(ln x),由复合函数的求导法则可得g'(x)=f'(ln x).

由题意可得g'(e)=f'(1)=,解得f'(1)=.故答案为.

答案

7.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是　　　　　,切线方程为　　　　　　. 

解析设P(x0,y0).∵y=xln x,∴y'=ln x+x·=1+ln x.∴k=1+ln x0.又k=2,∴1+ln x0=2,∴x0=e.∴y0=eln e=e.∴点P的坐标是(e,e).故切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.

答案(e,e)　2x-y-e=0

8.(2020江苏高三开学考试)已知函数f(x)=mln x图象与函数g(x)=2图象在交点处切线方程相同,则m的值为　　　　. 

解析设函数f(x)和g(x)的交点为(x0,y0),

则由f(x)=mln x,得f'(x)=,

∴f(x)在(x0,y0)处的切线方程的斜率k1=,

同理,函数g(x)在(x0,y0)处的切线方程的斜率k2=,

∵f(x)和g(x)在交点处切线方程相同,

∴k1=k2,即,①

又y0=f(x0)=mln x0,②

y0=g(x0)=2,③

由①②③解得,m=e.

答案e

9.求下列函数的导数.

(1)y=e2x+1;(2)y=;(3)y=5log2(1-x);

(4)y=sin3x+sin 3x.

解(1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.

(2)函数y=可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-.

(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(5log2u)'·(1-x)'=.

(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sin x的复合函数,函数y=sin 3x可看作函数y=sin v和v=3x的复合函数.

∴yx'=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'=3u2·cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x.

能力提升练

1.

曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)

A.

B.

C.

D.1

解析依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y'x=0=-2e-2×0=-2.

曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.

答案A

2.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　)

A.0, B.

C. D.,π

解析因为y=,所以y'=.因为ex>0,所以ex+≥2,所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈,π.

答案D

3.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末改编)直线y=x+b能作为下列(　　)函数的图象的切线.

A.f(x)= B.f(x)=x4

C.f(x)=sin  D.f(x)=ex

解析由f(x)=,得f'(x)=-,无解,故A排除;

由f(x)=x4,得f'(x)=4x3=,故x=,即曲线在点的切线为y=x-,B正确;

由f(x)=sin ,得f'(x)=cos ,取x=2kπ,k∈Z,当k=0时,x=0,故曲线在点(0,0)的切线为y=x,C正确;由f(x)=ex,得f'(x)=ex=,故x=-ln 2,曲线在点-ln 2,的切线为y=x+ln 2+,D正确,故选BCD.

答案BCD

4.曲线y=sin 2x在点(0,0)处的切线方程为　　　　　. 

解析∵y=f(x)=sin 2x,∴f'(x)=2cos 2x.

当x=0时,f'(0)=2,得切线的斜率为2,

所以k=2.

所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.故答案为2x-y=0.

答案2x-y=0

5.函数y=ln在x=0处的导数为　　　　　. 

解析y=ln=ln ex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex),则y'=1-.当x=0时,y'=1-.

答案

6.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则x>0时,f(x)的解析式为　　　　,曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　　. 

解析设x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=ln x-3x(x>0).当x>0时,f'(x)=-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.

答案f(x)=ln x-3x　y=-2x-1

7.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f';

(2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.

解(1)∵f(x)=eπxsin πx,

∴f'(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx=πeπx(sin πx+cos πx).

∴f'=πsin +cos =π.

(2)设切点的坐标为P(x0,y0),

由题意可知y'=0.又y'=,

∴y'=0.

解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.

素养培优练

　用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020(x≠0,且x≠1).

解设f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2 021,则有f(x)=g'(x).

而由等比数列求和公式可得g(x)=,于是f(x)=g'(x)='

=

=,

即1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020

=.