数学人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用练习题

这是一份数学人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用练习题，共7页。
再练一课(范围：§5.3)1. 已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　)A．－1  B．0  C．－  D.答案　C解析　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g′(x) －0＋ g(x)0↘极小值↗0 所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.3．设f(x)＝4x3＋mx2＋(m－3)x＋n(m，n∈R)是R上的增函数，则m的取值范围是(　　)A．[－6，＋∞)   B．{6}C．{－6}   D．(－∞，6]答案　B解析　由题意得，f′(x)＝12x2＋2mx＋(m－3)≥0在R上恒成立，所以Δ＝(2m)2－4×12×(m－3)≤0，即(m－6)2≤0，解得m＝6.4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案　C解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，由于a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．5．(多选)已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调区间为(　　)A．(－∞，0)   B．(0,2)C．(2，＋∞)   D．(－∞，＋∞)答案　ABC解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，∴即令f′(x)＝3x2－6x<0，则0<x<2，函数f(x)的单调递减区间为(0,2)．令f′(x)＝3x2－6x>0，则x<0或x>2，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．6．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在区间[－2,1]上的最大值为，则m＝________.答案　2解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.又f(0)＝m，f(－1)＝m＋，f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，∴当x∈[－2,1]时，最大值为f(1)＝m＋，∴m＋＝，∴m＝2.7．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________________．答案　解析　因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2≥0(当且仅当x＝0时等号成立)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(a－1)＋f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a,2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围是.8．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．则下列说法中正确的是________(填序号)．①函数y＝f(x)在区间上单调递增；②函数y＝f(x)在区间上单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)上单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．答案　③④解析　由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2,4)，单调递增区间为(－2,2)，(4，＋∞)，故③④正确．9．今年某公司计划按200元/担的价格收购某种农产品，同时按要求以10%的税率纳税．现计划收购a万担，若将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)将税率作怎样的调整，才能使税收取得最大值(要求应用导数知识完成)?解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意，得y＝200a(1＋2x%)·(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)＝－ax2－ax＋20a.(2)由(1)，得y′＝－ax－a.令y′＝0，解得x＝－20.当x＝－20时，y取最大值．因此，只有将税率增加20个百分点，才能使税收取得最大值．10．已知函数f(x)＝x2＋ln x(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)求f(x)的极值．解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，f(x)＝x2＋ln x，f′(x)＝x＋＝，当x∈[1，e]时，有f′(x)>0，∴f(x)在区间[1，e]上单调递增，∴f(x)max＝f(e)＝1＋，f(x)min＝f(1)＝.(2)f′(x)＝(2a－1)x＋＝(x>0)．①当2a－1≥0，即a≥时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)无极值．②当2a－1<0，即a<时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－f(x)↗极大值↘ 由上表可知，当x＝时，f(x)极大值＝－－ln(1－2a)，无极小值．11．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)A.   B.C．(0,4e2)   D．(0，＋∞)答案　B解析　令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，∴g(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增．∴g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则0<a<.12．已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，e2－2)   B．(－∞，e2－2]C．(－∞，1)   D．(－∞，1]答案　B解析　由f(x)－m≥0得f(x)≥m，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e)．即1≤f(x)≤e2－2，要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.13．若不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为________．答案　e解析　不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为f(x)＝ex－kx≥0恒成立，即有f(x)min≥0.f′(x)＝ex－k，当k≤0时，可得f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，无最小值．当k>0时，x>ln k时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x<ln k时，f′(x)<0，f(x)单调递减．即当x＝ln k时f(x)取得最小值，即为k－kln k，由k－kln k≥0，解得0<k≤e，即k的最大值为e.14．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为________．答案　[1，＋∞)解析　由f(x)>1，得ax－ln x>1，∵x>1，∴原不等式转化为a>，设g(x)＝，得g′(x)＝，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，则g(x)在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)<g(1)＝1，∵a>在(1，＋∞)上恒成立，∴a≥1.15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．答案　(－1,0)∪(1，＋∞)解析　令g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝.∵当x>0时，>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．g(x)<0的解集为(－1,0)．由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0)．又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．16．已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的极大值；(2)求f(x)在区间(－∞，0]上的最小值；(3)若x2＋5x＋5－aex≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝，当x<－3时，f′(x)<0，当－3<x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，－3)上为单调递减，在(－3,0)上为单调递增，在(0，＋∞)上为单调递减，因此函数f(x)在x＝0处有极大值f(0)＝5.(2)由(1)得，函数f(x)在(－∞，－3)上为单调递减，在(－3,0)上为单调递增，所以当x∈(－∞，0]时，函数f(x)在x＝－3处有最小值f(－3)＝－e3.(3)由题意知a≤＝f(x)．由(2)得，函数f(x)在区间(－∞，0]上有最小值－e3.又当x>0时，f(x)>0，所以函数f(x)在定义域内的最小值为－e3，所以a≤－e3，即a的取值范围为(－∞，－e3]．