高中数学选择性必修一 第2章 微专题2 对称问题教学设计

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微专题2　对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．一、几类常见的对称问题例1　已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得∴P′点坐标为(－2,7)．(2)解方程组得则点在所求直线上．在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则 解得点M′也在所求直线上．由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程．(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)．因为点E′，F′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为＝，即3x－y－17＝0.反思感悟　对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．二、对称问题的应用例2　已知A(4,1)，B(0,4)两点，在直线l：3x－y－1＝0上找一点M，使得||MA|－|MB||的值最大，并求此时点M的坐标及最大值．解　设B(0,4)关于直线l：3x－y－1＝0的对称点为B′(x0，y0)，则解得所以B′(3,3)．设M′为l：3x－y－1＝0上任意一点，则有||M′A|－|M′B′||≤|AB′|，当且仅当M′，B′，A三点共线时，上式等号成立，此时||M′A|－|M′B′||取得最大值|AB′|，即||M′A|－|M′B||取得最大值|AB′|，且|AB′|＝＝.因为过点A(4,1)，B′(3,3)的直线方程为＝，即2x＋y－9＝0.解方程组得所以直线AB′与直线l的交点为M(2,5)．所以当点M的坐标为(2,5)时，||MA|－|MB||取得最大值，且最大值为.例3　如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．解　设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.