精品解析：浙江省绍兴市柯桥区2020届高三下学期6月高考适应性考试数学试题（解析版）

浙江省高考科目考试柯桥区适应性试卷（2020年6月）数学试题

1. 已知全集，集合，集合则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先写出，根据补集运算即可.

【详解】由

所以，

所以.

故选：C

【点睛】本题主要考查集合的交集与补集，属于基础题.

2. 若曲线C：的离心率为，则m等于（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】由双曲线方程结合隐含条件求得c，再由离心率列式求解m值．

【详解】由曲线C：，得，且，．

，

则，解得．

故选：A

【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查离心率的求法，是基础题．

3. 若实数x，y满足，则最小值是（    ）

A.  B.  C. 0 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，然后求解即可．

【详解】解：由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，

平移直线，当直线经过可行域的时，目标函数的截距取得最小值，

此时取得最小值．由解得，

的最小值为：，

故选：．

【点睛】本题考查线性规划的简单应用，求出目标函数的最优解的解题的关键，属于基础题．

4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A. 18 B. 36 C. 54 D. 108

【答案】B

【解析】

【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．

【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．
如图所示：

所以：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了三视图和直观图形之间的转换，几何体的的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5. 已知a，，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质，进行判断即可.

【详解】解：若，此时成立，而不成立，

而时，由不等式的性质，两边平方得，，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决此题的关键，属于基础题.

6. 在同一个坐标系中，函数与的图象可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意结合函数、的图象特征，逐项排除即可得解.

【详解】由题意且，所以函数单调递减，故排除B、D；

对于A、C，由函数的图象可知，对于函数，，故A正确，C错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了指数函数、对数函数图象与性质的应用，考查了函数图象的识别，属于基础题.

7. 设a，b为正数，已知随机变量X的分布列如下表格，则（    ）

A. 有最大值，有最大值 B. 有最大值，无最大值

C. 无最大值，有最大值 D. 无最大值，无最大值

【答案】C

【解析】

【分析】先根据期望和方差的公式，计算出和，然后再分析最大值即可.

详解】由题意易知，，，

，

因为，所以无最大值，

，

当时，有最大值.

故选：C.

【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

8. 在中，，， ，O为所在平面内一点，并且满足，记 ，， ，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】令的中点分别为，则将可化简为，于是为线段的靠近的三等分点，然后建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算公式分别计算3个数量积即可得出结论．

【详解】，，

又  ，，

设的中点为，的中点为，则 ， ，

，为线段的靠近的三等分点，

以为原点，以分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则 ，

， ．

.

故选：A．

【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用以及数量积运算，解答本题确定点位置是解题关键，本题属于中档题．

9. 设a，，函数，若函数有四个零点，则（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】依题意，函数的图象与直线有四个交点，取特殊值，不妨取，作出函数的图象，观察图象即可得出结论．

【详解】解：依题意，函数有四个零点，

即函数的图象与直线有四个交点，

若，不妨取，则，

当时，，此时函数在单调递减，在单调递增，

当时，在单调递减，在单调递增，

作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，当时，可以满足条件，

结合选项可知，选项满足题意．

若时，当时，则，令，解得或，①当时，函数在上单调递减，上单调递增，

②当时函数在上单调递减，

当时，对称轴为，函数在上单调递增，

且，所以直线与函数最多两个交点，故不成立；

故选：．

【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，将问题转化为函数的图象与直线有四个交点，然后通过取特殊值，采用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．

10. 如图，在矩形中，将沿翻折至，设直线与直线所成角为α，直线与平面所成角为β，二面角的平面角为γ，当γ为锐角时（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据几何体的对称性将二面角的平面角等价于二面角的平面角， 直线与直线所成角等价于直线与直线所成角；过点做垂线，分别找到，根据直角三角形中边的大小关系，结合利用其正弦余弦值，即可比较其大小.

【详解】根据几何体的对称性知道二面角的平面角等于二面角的平面角.

作平面于点，则.

作于点，连接.

由于，则平面.

故，则即为二面角的平面角，

即.

由于平面，则即为直线与平面所成角.

即.

由于，则，

而，，则，

又因为为锐角，即.

由于四边形矩形，则，

故直线与直线所成角等于直线与直线等于所成角，

即.

作于点，连接，则，而，

则四边形为矩形，则.

在中，; 在中，.

而，则，

又因为锐角，所以.

故.

故选:D.

【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，属于中档题.解本题的关键在于将所要比较的几个角放在一起，再利用角的正余弦值的大小关系来比较角的大小.

11. 已知复数z满足（i为虚数单位），则复数________，________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据复数z满足，利用复数的除法求解即可.然后利用复数的模的模的公式求解.

【详解】因为复数z满足，

所以，

所以，

故答案为：①；②

【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12. 函数的最小正周期为________，最大值为________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由辅助角公式、二倍角公式对所给解析式进行整理可得，从而可求最小正周期和最值.

详解】解：

，

当时，函数有最大值，为，

所以最小正周期为，最大值为.

故答案为:;.

【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了三角函数的性质.本题的关键是对解析式进行整理化简.

13. 已知二项式（，）关于x展开式中，所有项的项系数之和为32，设展开式中x和的系数之和分别为m，n，若，则________，________.

【答案】    ①. 4    ②. 2

【解析】

【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得所有项的系数之和为(a-b)5=32①,再根据通项公式求得a=2b②，由①②求得a、b的值.

【详解】因为二项式（，）关于x展开式中，所有项的项系数之和为32，

令，

①，

设展开式中的通项公式为，

令，解得，可得的系数为，

令，解得，可得的系数为，

若，则，即②

则由①②解得，

故答案为：4；2

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.

14. 已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C的圆心坐标为________，半径为________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据题意，设圆C的圆心坐标为，半径为r，分析可得，解可得m、n的值，即可得圆心的坐标，求出的值，可得圆的半径，即可得答案．

【详解】根据题意，设圆C的圆心坐标为，半径为r，

又由圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则有，

解可得，即C的坐标为，

则圆的半径；

故答案为：；．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．

15. 从4个男生和6个女生的10个候选人中，挑选3人分别担任“班长”，“副班长”和“体育委员”，要求3人中至少有2个男生，这样的挑选方法共有________种.

【答案】240

【解析】

【分析】根据题意，分2步进行分析：①先从10人中任选3人，要求至少有2个男生，②将选出的3人全排列，分别担任“班长”，“副班长”和“体育委员”，由分步计数乘法原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分2步进行分析：

先从10人中任选3人，要求至少有2个男生，有种情况，

将选出的3人全排列，分别担任“班长”，“副班长”和“体育委员”，有种情况，

由分步乘法计数原理知，则有种不同的挑选方法；

故答案为：240．

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

16. 已知椭圆C的两个焦点为，，过的直线与椭圆C交于A、B两点，若，，则C的方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】设，根据题意以及椭圆的定义可得，，根据勾股定理可得，，，即可解出，然后根据的关系求出，从而得到C的方程．

【详解】如图所示：

设，∴．

因为，所以，，

而，解得，又，所以C的方程为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法以及几何性质的应用，属于基础题．

17. 已知函数，若存在，对于任意，都有，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】设，问题转化为对于任意，都有，利用导数研究的最值，建立关于的不等式即可求解.

【详解】设，

由b的任意性，结合题意可知，对于任意，

即，

又，易知函数在单调递减，在上单调递增，

①当时，在上单调递增，

则

故，解得，此时无解.

②当时，在上单调递减，

则

故，解得

③当时，在上单调递减，在上单调递增，

则,

故只需且

记函数，则，函数在上递增，

则，

记函数则，

函数在上递减，则

故当时，且恒成立，满足题意，

综上所述，实数a的取值范围为，

故答案为：

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，查了不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

18. 在四边形中，，，，.

（1）求的值.

（2）若，求对角线的长度.

【答案】（1）；（2）5.

【解析】

【分析】（1）在中，根据正弦定理可求出，再根据大边对大角可知为锐角，然后根据平方关系即可求出的值；

（2）在中，先根据诱导公式求出，再根据余弦定理即可求出的长度．

【详解】（1）在中，由正弦定理得：，

因为，所以为锐角，所以．

（2）在中，，

由余弦定理可得，

．

【点睛】本题主要考查正弦、余弦定理解三角形，涉及到大边对大角，平方关系，诱导公式的应用，属于基础题．

19. 如图，斜三棱柱中，，，，D是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】1取AB的中点M，连接CM，，由已知求解三角形可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面ABC，从而得到平面平面ABC；

2设与BD交于点O，E为BC的中点，则结合1可证得平面，得到平面平面过O作于N，则即为所求角，再求解三角形可得直线DB与平面所成角的正弦值．

【详解】（1）取中点M，连结，如图

因为，故，所以，

又因为，所以，且，

所以，

所以，所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）设与相交于O，过O作于N

E为的中点，则，所以平面，

所以平面平面，

因为，则即为所求的角，

易知为等腰直角三角形，且O为其重心，

故，，

又因为与相似，

所以，

所以．

【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查了直线与平面所成角的求法，考查计算能力，是中档题．

20. 设数列的前n项和为，是2与的等差中项，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，证明：

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由题设得出，类比写出，两式相减得到，并求出首项，从而得出等比数列的通项公式；

（2）由（1）求出，所以有，之后结合不等式的性质，利用等比数列求和公式，证得结果.

【详解】（1）由题设得，，

两式相减得：，又，所以数列是公比为2的等比数列，

所以．

（2）由（1）得，，

解法1：所以，

所以．

不等式对任意都成立．

解法2：数学归纳法，

（ⅰ）当时，左边，右边，不等式成立，

（ⅱ）假设时，不等式成立，即，

则

.

由（ⅰ）、（ⅱ）可知，不等式对任意都成立．

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差中项的特征，利用递推公式求数列的通项公式，等比数列求和公式，放缩法证明不等式，属于中档题目.

21. 已知，抛物线C：焦点到直线l：的距离为.

（1）求m的值.

（2）如图，已知抛物线C的动弦的中点M在直线l上，过点M且平行于x轴的直线与抛物线C相交于点N，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）16.

【解析】

【分析】(1)列出抛物线的焦点到直线l的距离公式即可求解；

(2)设出直线的方程与抛物线联立，即可得出点M, N坐标，求出点N到直线的距离及弦的长度，即可表示出的面积，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）抛物线C的焦点.

由题设得，，解得，

因为，所以．

（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，，

则，①

设，，，

则，所以，

，

因为点M在l上，则有，即，②

将②代入①得，解得，

易得N的坐标为，

则点N到直线的距离，

， 所以，

当时取到等号，所以面积的最大值为16．

【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式及直线与抛物线的位置关系，属于能力提升题.

22. 已知函数，

（1）求在上的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）在上单调递增；（2）.

【解析】

【分析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解;(2) 结合反证法，利用函数与导数关系及函数的性质即可求解.

【详解】（1），

令，则，

所以在的单调递增．所以，

所以，所以在上单调递增．

（2）假设，设，则在单调递增，

由（1）可知，当时，，

当时，，

所以时，

，与题设矛盾，所以，

又，所以．

下面证明当是符合题意的，

设，，要使恒成立，

必须，即，

当时，①显然成立，

设，则，

所以在单调递减，在单调递增，故，

即②也成立，

综上，k的取值范围是．

【点睛】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于难题.

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