湖南省郴州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题（含答案）

科目：数  学

（试题卷）

注意事项：

 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

 3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

 4．考试时间为120分钟，满分为150分。

 5．本试题卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。

姓    名______________

准考证号______________

郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷

数  学

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（       ）

A．（，） B．（，1） C．（，1） D．（，6）

2．已知复数z满足（i为虚数单位），是z的共轮复数，则（       ）

A．5 B． C． D．

3．△ABC中，D为BC中点，设向量，，，则（       ）

A． B． C． D．

4．某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（       ）

A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068

5．设正项等比数列的前n项和为，若，，则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．设函数（），已知在区间上有且仅有3个零点，下列结论正确的是（       ）

A．直线是函数的图象的一条对称轴

B．的取值范围是

C．的图象向右平移个单位后所得图象的函数是奇函数

D．在区间上有且仅有2个极值点

7．F1、F2是双曲线C：（）的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=12：5：13，则双曲线的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

8．某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面．已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为（），则当该水渠的修建成本最低时的值为（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．如图1，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（       ）

A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB

B．异面直线PA与DC所成的角的余弦值为

C．直线PB与平面PAD所成的角为45°

D．BD⊥平面PAC

10．已知无穷等差数列的首项为1，它的前n项和为，且，，则（       ）

A．数列是单调递减数列

B．

C．数列的公差的取值范围是

D．当时，

11．已知抛物线的焦点为F，M（4，）在抛物线上，延长MF交抛物线于点N，抛物线准线与y轴交于点Q，则下列叙述正确的是（       ）

A．  B．点N的坐标为（，）

C．  D．在x轴上存在点R，使得∠MRF为钝角

12．已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（       ）

A．  B．

C．  D．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若，则________．

14．已知（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________．

15．如图2，已知△ABC的外接圆为圆O，AB为直径，PA垂直圆O所在的平面，且PA=AB=1，过点A作平面，分别交PB、PC于点M、N，则三棱锥P−AMN的外接球的体积为________．

16．已知函数，，对任意，存在，使，则的最小值为________．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

 已知数列中，，其前n项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若数列的前n项和为，求证：．

18．（本小题满分12分）

 △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求a；

（2）若AD⊥BC于D，且AD=，求角A的最大值．

19．（本小题满分12分）

 在图3（1）五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠CDE=150°，将△ADE沿AD折起到△SAD的位置，得到如下图3（2）所示的四棱锥S−ABCD，F为线段SC的中点，且BF⊥平面SCD．

（1）求证：CD⊥平面SAD；

（2）若CD=2SD，求直线BF与平面SBD所成角的正弦值．

20．2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕。本次冬奥会极大地鼓舞了中国人民参与冰雪运动的热情，某校短道速滑社团的队员们纷纷加练，训练场内热火朝天，为了给刻苦训练的运动员们以激励，社团决定开展“训练赢吉祥物”活动，游戏规则如下：有一张共10格的长方形格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，队员每次完成训练后抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格）（k为正整数），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束．“跳子”落在第9格，则每位队员可以得到一只“雪容融”玩偶，“跳子”落在第10格，则每位队员可以得到一只“冰墩墩”玩偶．记“跳子”前进到第n格（）的概率为．

（1）求；

（2）（i）证明数列（）是等比数列；

 （ii）求该社团参加一次这样的游戏获得“冰墩墩”玩偶的概率．

21．（本小题满分12分）

 已知椭圆E：（）的离心率为，过坐标原点O的直线交椭圆E于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC．当C为椭圆的右焦点时，△PAC的面积为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：∠APB是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

22．（本小题满分12分）

 已知函数．

（1）求在上的最小值．

（2）设，若有两个零点，，证明：．