苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列习题课件ppt

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列习题课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了反思感悟，随堂演练，课时对点练，n2n＋1，×712等内容，欢迎下载使用。

1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.
2.会用构造公式法解决一些简单的问题.
利用递推公式构造等差数列求通项
已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式.
延伸探究　1.本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式.
即an＝n×2n－1.
2.本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n－1”，其余不变，求数列{an}的通项公式.
形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，目的是使数列的下标与p的指数相对应.
利用递推公式构造等比数列求通项
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式.
∵an＋1＝2an＋1，an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.
(1)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
(2)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an＋1＝pan＋q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系.
(1)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明数列{an＋4}是等比数列.并求数列{an}的通项公式.
∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4.
由题意得，an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)，即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2，所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)，所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n＋1＝5·3n－1，即an＝5·3n－1－2n＋1.
(2)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项公式.
1.知识清单： (1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式. (2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式. (3)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式. 2.方法归纳：构造法.3.常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1.
1.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4，则a2 022的值为A.32 020 B.32 020＋2 C.32 021＋2 D.32 021－2
因为an＋1＝3an－4，an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，所以2t＝－4，t＝－2，即an＋1－2＝3(an－2)，所以{an－2}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n－1，an＝3n－1＋2，所以a2 022＝32 021＋2.
2.已知数列{an}满足a1＝3，an＝3an－1－3n，则数列{an}的通项公式是A.an＝－n B.an＝nC.an＝(2－n)·3n D.an＝n·3n
3.已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3·5n，a1＝6，则数列{an}的通项公式an等于A.an＝2n－1＋5n B.an＝2n－1－5nC.an＝2n－1 D.an＝21n－15
设an＋1＋x·5n＋1＝2(an＋x·5n)，①将an＋1＝2an＋3·5n代入①式，得2an＋3·5n＋x·5n＋1＝2an＋2x·5n，等式两边消去2an，得3·5n＋x·5n＋1＝2x·5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，②由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，
则数列{an－5n}是以a1－51＝1为首项，以2为公比的等比数列，所以an－5n＝2n－1，所以an＝2n－1＋5n.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝___.
∵an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，∴数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S5＋1＝3×24，解得S5＝47.
1.已知数列{an}满足an＋1＝kan－1(n∈N*，k∈R*)，若数列{an-1}是等比数列，则k等于A.1 B.－1 C.－2 D.2
由于数列{an－1}是等比数列，
2.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝2Sn，n∈N*，S2＝4，则a2 022等于A.22 022 B.42 022 C.42 021 D.22 021
故{Sn}是以2为首项，2为公比的等比数列，故通项公式为Sn＝2×2n－1＝2n，所以a2 022＝S2 022－S2 021＝22 022－22 021＝22 021×(2－1)＝22 021.
∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，即2n＋1an＋1－2nan＝2.又21a1＝2，∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an＋1＋n－2，n∈N*，a1＝2，则{an}的通项公式为A.an＝2n－1－1 B.an＝2n－1C.an＝2n－1＋1 D.an＝2n
由Sn＝an＋1＋n－2①得Sn－1＝an＋n－3(n≥2)②，由①－②可得an＋1＝2an－1(n≥2)，所以an＋1－1＝2(an－1)(n≥2)，又S1＝a2＋1－2，a1＝2，则a2＝3，即a2－1＝2(a1－1)，因此{an－1}是以a1－1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以an－1＝2n－1，即an＝1＋2n－1.
5.将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 021，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于1　2　3　…　2 019　2 020　2 0213　5　7　…　4 039　4 0418　12　…　　　8 080…　　　　……MA.2 021·22 018 B.2 022·22 019 C.2 021·22 019 D.2 022·22 020
记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，
∴an＝(n＋1)·2n－2.又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2 021行，∴M＝a2 021＝2 022×22 019.
6.(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是A.数列{Sn＋n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1C.数列{an＋1}为等比数列D.数列{Sn－Sn－1＋1}为等比数列
所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误；
由Sn＝2n－n，所以Sn－Sn－1＋1＝2n－n－2n－1＋n－1＋1＝2n－1，故D正确.
7.在数列{an}中，a1＝3，nan＋1＝(n＋1)an＋2n(n＋1)，则an＝_________.
由题意，等式两边同除n(n＋1)可得：
8.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.依此类推，假设n个月后共有老鼠an只，则a12＝________.
设n个月后共有an 只老鼠，且雌雄各半，
所以an＋1＝an＋6an，即an＋1＝7an(n∈N*)，
所以数列{an}是以14为首项，7为公比的等比数列，所以an＝a1qn－1＝14×7n－1＝2×7×7n－1＝2×7n，即an＝2×7n(n∈N*)，当n＝12时，a12＝2×712.
因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
9.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列.
因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
10.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率.问至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.3)
设该项目n年后资金数为an，n∈N*.则由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200，
∵a1＝1 000×(1＋25%)－200＝1 050，∴a1－800＝250，
∵lg 2≈0.3，∴不等式化为0.1n≥1.2，∴n≥12.故至少要经过12年，该项目资金才可达到或超过翻两番的目标.
11.已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2，则{an}的通项公式为A.an＝2n－1 B.an＝3n－1C.an＝22n－1 D.an＝6n－4
所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列，所以an＋1＝3×3n－1＝3n，所以an＝3n－1.
14.若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a6＝________.
因为an＋1＝4an＋2n，所以an＋1＋2n＝4(an＋2n－1)，所以数列{an＋2n－1}是首项为2，公比为4的等比数列，则an＋2n－1＝2×4n－1，可得an＝22n－1－2n－1，则a6＝22×6－1－26－1＝211－25＝2 016.
15.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第m次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，并记an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，则数列{an}的前n项和为______________.
an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，所以an＋1＝lg2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)…·xt·(xt·2)·2]
16.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用an表示an＋1；
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，