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苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列习题课件ppt
展开1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.
2.会用构造公式法解决一些简单的问题.
利用递推公式构造等差数列求通项
已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式.
延伸探究 1.本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”,其余不变,求数列{an}的通项公式.
即an=n×2n-1.
2.本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n-1”,其余不变,求数列{an}的通项公式.
形如an=pan-1+pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn,目的是使数列的下标与p的指数相对应.
利用递推公式构造等比数列求通项
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,求{an}的通项公式.
∵an+1=2an+1,an+1+t=2(an+t),即an+1=2an+t,∴t=1,即an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴an+1=2×2n-1,∴an=2n-1.
(1)形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步:假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t);
(2)形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an+1=pan+q求通项公式的步骤,要注意数列的下标与q的指数的对应关系.
(1)已知数列{an}满足a1=-2,an+1=2an+4.证明数列{an+4}是等比数列.并求数列{an}的通项公式.
∵a1=-2,∴a1+4=2.∵an+1=2an+4,∴an+1+4=2an+8=2(an+4),
∴{an+4}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴an+4=2×2n-1=2n,即an=2n-4.
由题意得,an+1+A·2n+1=3(an+A·2n),即an+1=3an+A·2n,故A=2,所以an+1+2n+2=3(an+2n+1),所以{an+2n+1}是以5为首项,3为公比的等比数列,所以an+2n+1=5·3n-1,即an=5·3n-1-2n+1.
(2)已知数列{an}满足an+1=3an+2n+1且a1=1,求数列{an}的通项公式.
1.知识清单: (1)形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式. (2)形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式. (3)形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式. 2.方法归纳:构造法.3.常见误区:构造的新的数列的首项易误认为还是a1.
1.已知数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4,则a2 022的值为A.32 020 B.32 020+2 C.32 021+2 D.32 021-2
因为an+1=3an-4,an+1+t=3(an+t),即an+1=3an+2t,所以2t=-4,t=-2,即an+1-2=3(an-2),所以{an-2}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an-2=3n-1,an=3n-1+2,所以a2 022=32 021+2.
2.已知数列{an}满足a1=3,an=3an-1-3n,则数列{an}的通项公式是A.an=-n B.an=nC.an=(2-n)·3n D.an=n·3n
3.已知数列{an}满足an+1=2an+3·5n,a1=6,则数列{an}的通项公式an等于A.an=2n-1+5n B.an=2n-1-5nC.an=2n-1 D.an=21n-15
设an+1+x·5n+1=2(an+x·5n),①将an+1=2an+3·5n代入①式,得2an+3·5n+x·5n+1=2an+2x·5n,等式两边消去2an,得3·5n+x·5n+1=2x·5n,两边除以5n,得3+5x=2x,则x=-1,代入①式得an+1-5n+1=2(an-5n),②由a1-51=6-5=1≠0及②式得an-5n≠0,
则数列{an-5n}是以a1-51=1为首项,以2为公比的等比数列,所以an-5n=2n-1,所以an=2n-1+5n.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),则S5=___.
∵an+1=Sn+1(n∈N*),即Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*),∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*),∴数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2.则S5+1=3×24,解得S5=47.
1.已知数列{an}满足an+1=kan-1(n∈N*,k∈R*),若数列{an-1}是等比数列,则k等于A.1 B.-1 C.-2 D.2
由于数列{an-1}是等比数列,
2.已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=2Sn,n∈N*,S2=4,则a2 022等于A.22 022 B.42 022 C.42 021 D.22 021
故{Sn}是以2为首项,2为公比的等比数列,故通项公式为Sn=2×2n-1=2n,所以a2 022=S2 022-S2 021=22 022-22 021=22 021×(2-1)=22 021.
∴2n+1an+1=2nan+2,即2n+1an+1-2nan=2.又21a1=2,∴数列{2nan}是以2为首项,2为公差的等差数列,∴2nan=2+(n-1)×2=2n,
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n-2,n∈N*,a1=2,则{an}的通项公式为A.an=2n-1-1 B.an=2n-1C.an=2n-1+1 D.an=2n
由Sn=an+1+n-2①得Sn-1=an+n-3(n≥2)②,由①-②可得an+1=2an-1(n≥2),所以an+1-1=2(an-1)(n≥2),又S1=a2+1-2,a1=2,则a2=3,即a2-1=2(a1-1),因此{an-1}是以a1-1=1为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=2n-1,即an=1+2n-1.
5.将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2 021,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于1 2 3 … 2 019 2 020 2 0213 5 7 … 4 039 4 0418 12 … 8 080… ……MA.2 021·22 018 B.2 022·22 019 C.2 021·22 019 D.2 022·22 020
记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2,
∴an=(n+1)·2n-2.又每行比上一行的数字少1个,∴最后一行为第2 021行,∴M=a2 021=2 022×22 019.
6.(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1C.数列{an+1}为等比数列D.数列{Sn-Sn-1+1}为等比数列
所以Sn+n=2n,则Sn=2n-n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,但a1≠21-1-1,故B错误;
由Sn=2n-n,所以Sn-Sn-1+1=2n-n-2n-1+n-1+1=2n-1,故D正确.
7.在数列{an}中,a1=3,nan+1=(n+1)an+2n(n+1),则an=_________.
由题意,等式两边同除n(n+1)可得:
8.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作,其中记载了一个这样的问题:假设每对老鼠每月生子一次,每月生12只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了12只小老鼠,一共有14只;2个月后,每对老鼠各生了12只小老鼠,一共有98只.依此类推,假设n个月后共有老鼠an只,则a12=________.
设n个月后共有an 只老鼠,且雌雄各半,
所以an+1=an+6an,即an+1=7an(n∈N*),
所以数列{an}是以14为首项,7为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=14×7n-1=2×7×7n-1=2×7n,即an=2×7n(n∈N*),当n=12时,a12=2×712.
因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,S1=2a1+1-4,解得a1=3.
9.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4.(1)求a1的值;
(2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列.
因为Sn=2an+n-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-4,Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5),即an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1),又bn=an-1,所以bn=2bn-1,且b1=a1-1=2≠0,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.
10.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率.问至少要经过多少年,该项目的资金才可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(取lg 2≈0.3)
设该项目n年后资金数为an,n∈N*.则由已知得an+1=an(1+25%)-200,
∵a1=1 000×(1+25%)-200=1 050,∴a1-800=250,
∵lg 2≈0.3,∴不等式化为0.1n≥1.2,∴n≥12.故至少要经过12年,该项目资金才可达到或超过翻两番的目标.
11.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=3an+2,则{an}的通项公式为A.an=2n-1 B.an=3n-1C.an=22n-1 D.an=6n-4
所以数列{an+1}是首项为a1+1=3,公比为3的等比数列,所以an+1=3×3n-1=3n,所以an=3n-1.
14.若数列{an}满足a1=1,且an+1=4an+2n,则a6=________.
因为an+1=4an+2n,所以an+1+2n=4(an+2n-1),所以数列{an+2n-1}是首项为2,公比为4的等比数列,则an+2n-1=2×4n-1,可得an=22n-1-2n-1,则a6=22×6-1-26-1=211-25=2 016.
15.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”,第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2;….设第m次“扩展”后得到的数列为1,x1,x2,…,并记an=lg2(1·x1·x2·…·xt·2),其中t=2n-1,n∈N*,则数列{an}的前n项和为______________.
an=lg2(1·x1·x2·…·xt·2),所以an+1=lg2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)…·xt·(xt·2)·2]
16.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;
代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,
此时Δ=(-2)2-4×2×3<0,
苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列示范课课件ppt: 这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列示范课课件ppt,共13页。
苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列习题课件ppt: 这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列习题课件ppt,共60页。PPT课件主要包含了并项求和,反思感悟,错位相减法,随堂演练,课时对点练,n-12n+1等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年第4章 数列4.3 等比数列习题课件ppt: 这是一份2020-2021学年第4章 数列4.3 等比数列习题课件ppt,共60页。PPT课件主要包含了等比数列的实际应用,反思感悟,知识梳理,注意点,等比数列的综合应用,随堂演练,课时对点练等内容,欢迎下载使用。