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苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列习题课件ppt
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这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列习题课件ppt,共60页。PPT课件主要包含了注意点,反思感悟,amqn-m,amapan,随堂演练,课时对点练,∴a4=2,∴q=2,解得q=2,-213等内容,欢迎下载使用。
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.
2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
在我们学习等比数列的过程中,发现它与等差数列有相似之处,这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想,类比的前提大多为结论提供线索,它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域,由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论,有人曾说“类比使人聪颖,数学使人严谨,数学使人智慧”,今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质.
一、由等比数列构造新等比数列
二、等比数列中任意两项之间的关系
由等比数列构造新等比数列
问题1 结合我们所学,你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗?
1.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
在构造新的等比数列时,要注意新数列中有的项是否为0,比如公比q=-1时,连续相邻偶数项的和都是0,故不能构成等比数列.
取等比数列an=(-1)n,则an+an+1=0,所以{an+an+1}不是等比数列,故D错误;对于其他选项,均满足等比数列通项公式的性质.
由等比数列构造新的等比数列,一定要检验新的数列中的项是否为0,主要是针对q0,求an.
等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下,利用通项公式an=a1qn-1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.(2)在已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.
(1)在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为
等比数列中多项之间的关系
问题3 结合上面的类比,你能把等差数列里面的am+an=ak+al,类比出等比数列中相似的性质吗?
提示 类比可得aman=akal,其中m+n=k+l,m,n,k,l∈N*.推导过程:am=a1qm-1,an=a1qn-1,ak=a1qk-1,al=a1ql-1,
因为m+n=k+l,所以有aman=akal.
设数列{an}为等比数列,则:(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 _ .(2)若m,p,n成等差数列,则 成等比数列.
ak·al=am·an
(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz;(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同;(3)在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=….
在等比数列{an}中,
(2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;
由等比中项,化简条件得
即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8=7.
(3)若an>0,a5a6=9,求lg3a1+lg3a2+…+lg3a10的值.
由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=lg3(a1a2·…·a10)=lg3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=lg395=10.
利用等比数列的性质解题(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
因为a3a11=16,
又因为an>0,所以a7=4,所以a16=a7q9=32,即lg2a16=5.
(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=________.
方法一 因为{an}是等比数列,
1.知识清单: (1)由等比数列构造新的等比数列. (2)等比数列中任意两项之间的关系. (3)等比数列中多项之间的关系.2.方法归纳:公式法、类比思想.3.常见误区:构造新的等比数列易忽视有等于0的项.
2.已知{an},{bn}都是等比数列,那么A.{an+bn},{anbn}都一定是等比数列B.{an+bn}一定是等比数列,但{anbn}不一定是等比数列C.{an+bn}不一定是等比数列,但{anbn}一定是等比数列D.{an+bn},{anbn}都不一定是等比数列
当两个数列都是等比数列时,这两个数列的和不一定是等比数列,比如取两个数列是互为相反数的数列,两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.
设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),因为a1a5=4,所以由等比数列的性质可得a2a4=4,
所以数列{an}的公比是2.
2.在等比数列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的两根,则a4a16+a10等于A.6 B.2 C.2或6 D.-2
因为a4=a2·q2,
方法一 依题意可设,竹子自上而下各节的容积成等比数列{an},设其公比为q(q≠0),由上面3节的容积之积为3,下面3节的容积之积为9,
设正项等比数列{an}的公比q>0,
∴q2-2q-3=0,q>0,解得q=3(负值舍去).
8.已知数列{an}为等比数列,且a3+a5=π,则a4(a2+2a4+a6)=_____.
因为数列{an}为等比数列,且a3+a5=π,所以a4(a2+2a4+a6)
=(a3+a5)2=π2.
9.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
∵{an}为等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64.又∵a3+a7=20,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.
此时a11=a3q8=4×42=64.
10.已知数列{an}为等比数列.(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;
∵a2a4+2a3a5+a4a6=36,
即(a3+a5)2=36,又∵an>0,∴a3+a5=6.
(2)若数列{an}的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
设等比数列{an}的公比为q,∵a2-a5=42,∴q≠1.
若G是a5,a7的等比中项,
∴a5,a7的等比中项为±3.
11.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8=3a7,则lg3(a1a2·…·a9)等于A.38 B.39 C.9 D.7
因为a4a8=a5a7=3a7且a7≠0,所以a5=3,
方法一 ∵a3,a5的等比中项为±a4,
方法二 ∵a3a5=4(a4-1),∴a1q2·a1q4=4(a1q3-1),
∵T13=4T9,∴a1a2…a9a10a11a12a13=4a1a2…a9,∴a10a11a12a13=4.又∵a10·a13=a11·a12=a8·a15,∴(a8·a15)2=4,∴a8a15=±2.又∵{an}为递减数列,∴q>0,∴a8a15=2.
13.等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15等于A.±2 B.±4 C.2 D.4
14.在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于______.
由于{an}是等比数列,
而a7=-2.∴a1a2a3…a13=(-2)13=-213.
∵{an}是等比数列,∴a7·a11=a4·a14=6,
16.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
设{an}的公差为d,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2,故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N*).设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,
故q=2.则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.所以bn=4n-2-2n-1(n∈N*).故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N*).
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