【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§5.1～§5.2)【讲义+习题】

再练一课(范围：§5.1～§5.2)

一、单项选择题

1．设 ＝－2，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的倾斜角是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　因为

＝2f′＝－2，

所以f′＝－1，则曲线y＝f(x)在点处的切线斜率为－1，

故所求切线的倾斜角为.

2．如果一个物体的运动方程为s＝t3，其中s的单位是千米，t的单位是小时，那么物体在第4小时末的瞬时速度是(　　)

A．12千米/小时   B．24千米/小时

C．48千米/小时   D．64千米/小时

答案　C

解析　由题意可得v＝s′＝3t2，则当t＝4时，v＝48.

3.如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2＜x1，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是(　　)

A．f′(x1)>f′(x2)   B．f′(x1)<f′(x2)

C．f′(x1)＝f′(x2)   D．不能确定

答案　A

解析　根据题意，得点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，f′(x)为f(x)的导函数，

则f′(x1)为点A处切线的斜率，设其斜率为k1，f′(x2)为点B处切线的斜率，设其斜率为k2，

由函数的图象可得k1＞k2，即有f′(x1)>f′(x2)．

4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)

A．2e  B．e  C．2  D．1

答案　C

解析　y′＝ex－1＋xex－1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为k＝e1－1＋e1－1＝2.

5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于(　　)

A．－3  B．2e  C.  D.

答案　D

解析　因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2exf′(1)＋，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝.

6.如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

答案　D

解析　不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；

当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；

从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．

由上可知函数y＝f(x)的图象应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．

二、多项选择题

7．下列结论中正确的有(　　)

A．若y＝sin ，则y′＝0

B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3

C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1

D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

答案　ABC

解析　选项A中，若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；

选项B中，若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(x)＝6x－f′(1)，

令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；

选项C中，若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；

选项D中，若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．

8．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f＝f′，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列四个函数中其中有“巧值点”的函数是(　　)

A．f(x)＝x2   B．f(x)＝e－x

C．f(x)＝ln x   D．f(x)＝tan x

答案　AC

解析　A中，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，x2＝2x，x＝0，x＝2，有“巧值点”；

B中，f(x)＝e－x，f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；

C中，f(x)＝ln x，f′(x)＝，ln x＝，令g(x)＝ln x－，g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0，由零点存在定理，知在(1，e)上必有零点，f(x)有“巧值点”；

D中，f(x)＝tan x，f′(x)＝，＝tan x，sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，无解，所以f(x)无“巧值点”．

三、填空题

9．物体的运动方程s(t)＝2＋sin t，则它的初始速度是________．

答案　1

解析　因为s(t)＝2＋sin t，

所以s′(t)＝cos t，

s′(0)＝cos 0＝1.

即它的初始速度是1.

10．已知函数f(x)，g(x)满足f＝5，f′＝3，g＝4，g′＝1，若h(x)＝，则h′＝________.

答案　

解析　∵h(x)＝，

∴h′(x)＝，

由f＝5，f′＝3，g＝4，g′＝1，

得h′＝

＝＝.

11．曲线f(x)＝xnex在x＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为，则n＝________.

答案　2或－

解析　由已知得f′(x)＝(xn＋nxn－1)ex，

所以f(1)＝e，f′＝(n＋1)e，

所以切线方程为y－e＝(n＋1)e(x－1)．

令x＝0，得y＝－ne；令y＝0，得x＝，

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为S＝×e＝，解得n＝2或－.

12．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的切线中存在两条切线平行，则称这两个函数具有“局部平行性”．已知函数f(x)＝ax＋sin x与g(x)＝cos x存在“局部平行性”，则a的取值范围为________．

答案　

解析　由题意得f′(x)＝a＋cos x，g′(x)＝－sin x，设y＝f(x)的切点为(x1，y1)，y＝g(x)的切点为(x2，y2)，则a＋cos x1＝－sin x2有解，

x2∈R，－sin x2∈[－1,1]；x1∈R，a＋cos x1∈[a－1，a＋1]，因此[－1,1]∩[a－1，a＋1]≠∅，

所以解得－2≤a≤2.

四、解答题

13．求下列函数的导数：

(1)y＝ ；(2)y＝；

(3)y＝(2x＋1)5；(4)y＝loga.

解　(1)令t＝1－2x，则y＝ ，

所以y′＝ ·t′＝··(－2)＝.

(2)y′＝＝

＝.

(3)y′＝5(2x＋1)4×2＝10(2x＋1)4.

(4)y′＝×3＝.

14．某公司生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋＋，总成本的单位是元．

(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义．

解　(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．

此时总成本c关于产量x的平均变化率为＝＝4.3(元/件)，

它表示产量从x＝200件到x＝220件变化时平均每件的总成本．

(2)首先求c′(x)，根据导数公式和求导法则可得

c′(x)＝＋，

于是c′(200)＝＋4＝4.1(元/件)．

它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．

15．(1)①已知f(x)＝e－x，求f′.

②已知f(x)＝，求f′；

(2)求过点Q的曲线y＝x3－2x的切线方程．

解　(1)①f′(x)＝e－x，f′＝5e－2.

②f′(x)＝，f′＝0.

(2)设P为切点，

则切线的斜率为f′＝3x－2，

故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，

即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，

又知切线过点，代入上式得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，

即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－，

故所求的切线方程为y＋1＝x－1

或y－＝－，

即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.