福建省漳州市第二中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷

2021-2022学年福建省漳州二中高一数学上学期期中考试试卷

一、单选题

1.     集合，，，则等于.(    )

A.  B.  C.  D.

2.     下列四组函数，表示同一函数的是(    )

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

3.     若函数，则(    )

A.  B.  C.  D. 1

4.     已知二次函数在上为减函数，则k的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     如果关于x的不等式的解集是，那么等于.(    )

A.  B. 81 C.  D. 64

6.     下列命题中，真命题的个数是(    )

①的最小值是

②，

③若，则

④集合中只有一个元素的充要条件是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.    若函数的定义域为，值域为，则实数a的取值范围是.(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知函数，若，则a的值是(    )

A. 3或 B.  C. 或5 D. 3或或5

二、多选题

9.    已知命题p：，，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列结论中错误的命题是(    )

A. 函数是幂函数

B. 函数是偶函数不是奇函数

C. 函数的单调递减区间是

D. 有的单调函数没有最值

11. 已知函数图像经过点，则下列命题正确的有(    )

A. 函数为增函数

B. 函数为偶函数

C. 若，则

D. 若，则

12. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是(    )

A.

B. 若在上有最小值，则在上有最大值1

C. 若在上为增函数，则在上为减函数

D. 若时，，则时，

三、填空题

13. 若命题p：，，则：__________.
14. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，__________.
15. 已知，，且，则xy的最大值为__________，的最小值为__________.
16. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________.

四、解答题

17. 设，，
18. 求；
19. 若，求实数a的取值范围．
20. 设命题p：； q：
21. 若，且为假，为真，求实数x的取值范围；
22. 若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
23. 已知函数
24. 用定义证明在上是增函数；
25. 求函数在区间上的值域．
26. 在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．

已知函数

当时，求在上的值域；

若____________，，求实数a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

27. 某企业在科研部门的支持下，启动减缓气候变化的技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物转化为一种可利用的化工产品．已知该企业处理成本亿元与处理量万吨之间的函数关系可近似地表示为另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元．
28. 当时，若计划在A国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量x的取值范围是多少？
29. 该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？
30. 附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本
31. 已知函数对任意实数x，y恒有，当时，，且

判断的奇偶性.

求在区间上的最大值.

解关于x的不等式

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了求集合的补集与交集的运算问题，属于基础题．

首先求出T的补集，然后与S进行交集计算.

【解答】

解：因为集合，，，所以，

所以

故选：

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查判断是不是同一个函数，要根据定义域相同，对应法则一致的规则进行判断，属于基础题.

根据题目所给的函数逐一判断，可得出结果.

【解答】

解：，，所以解析式不同，表示不同函数.

 的定义域为，定义域为R，定义域不同，所以表示不同函数.

C：的定义域满足，即，

的定义域满足，即定义域不同，所以表示不同函数.

D.，，定义域，解析式，值域相同，表示同一函数.

故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查函数值的求法，是基础题．

令，得，根据，即可得到结果．

【解答】

解：令，得，

故选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是二次函数的图象和性质.根据解析式判断函数是开口向上的抛物线，对称轴为，结合单调性知，求解即可.

【解答】

解：二次函数是开口向上的抛物线，对称轴为，

二次函数在上为减函数，

，

解得，

的取值范围为

故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解集的计算以及指数的计算问题，属于基础题.

根据一元二次不等式与相应方程的关系，由根与系数的关系可以得到a，b的值.

【解答】

解：不等式可化为，其解集是，

那么的两个根为1，3，

由根与系数的关系得，解得；

所以

故选：

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了命题真假的判断，涉及基本不等式求最值，元素与集合的关系，充要条件，考查了分析能力，属于中档题.

由基本不等式，结合等号成立的条件可判断①，举例可判断②和③，分类讨论求出k的可能取值，可判断④.

【解答】

解：由题意，对于①，，

当且仅当，即时，取等号，

无实数解，不满足取等号的条件，故①错误；

对于②，当或1时，符合，，故②正确；

对于③，取则，

，但，故③错误；

对于④，集合中只有一个元素，

当时，则有，即，此时符合题意，

当时，，即，故集合A中只有一个元素的充要条件是或0，

故④错误.

故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数定义域与值域，考查学生的计算能力和推理能力，属于基础题.

根据函数的对称轴和值域，可得，令即可得a的取值.

【解答】

解：函数，且定义域为，值域为，

，

令，

解得舍去或，

，

，

故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数的求值问题，属于基础题.

由，得或，求解即得答案.

【解答】

解：由，得或，

解得或

故选

9.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

命题p：，，解得a范围，进而得出结论．

【解答】

解：命题p：，，

，解得：

则命题p成立的一个充分不必要条件可以是：，或

故选：

10.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判定，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查幂函数的定义，属于基础题．

根据函数的奇偶性、单调性、最值以及幂函数的定义分别判断即可得.

【解答】

解：对于A，该函数是幂函数，正确；

对于B，由函数的定义域知，即，，

则函数，定义域关于原点对称，故函数既是奇函数又是偶函数，故B不正确;

对于C，的单调递减区间是和，故C的表示错误，C不正确；

对于D，比如定义域为开区间时，单调函数没有最值，正确．

故选

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的概念和应用，考查了均值不等式，属于中档题．

由幂函数的图象经过点，得到，由此判断各选项的正误．

【解答】

解：幂函数的图象经过点，

，解得，，

在定义域单调递增，故A正确；

的定义域为故B错误；

在定义域内单调递增，且，故C正确；

由均值不等式得，

且，满足，，

，

即，故D正确.

故选：

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查奇函数的定义、考查奇函数的图象关于原点对称、考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．

先根据奇函数的定义判断出A对；根据奇函数的图象关于原点对称判断出B对C错；通过奇函数的定义求出当的解析式，判断出D对．

【解答】

解：由得，故A正确；

当时，，

则时，，，

则在上有最大值1，故B正确；

若在上为增函数，则在上为增函数，故C错误；

若时，，

则时，，

，

故D正确．

故选

13.【答案】， 

【解析】

【分析】

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可．

【解答】

解：由全称量词命题的否定为存在量词命题可得：

：，，

故答案为：，

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．

当时，，由已知表达式可求得，由奇函数的性质可得与的关系，从而可求出

【解答】

解：当时，，

则

又是R上的奇函数，

当时，

故答案为：

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值的方法，考查学生转化能力与计算能力，属于中档题.

利用基本不等式可求得xy的最大值；先变形为，利用用基本不等式求最小值.

【解答】

解：因为且，，

所以，当时取等；

所以，当时取等；

因为，所以，

则；

当且仅当取等号；

故答案为；

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数单调性的基本性质，利用分段函数处理函数的单调性，属于基础题．

注意在端点处两个函数值的大小关系，然后利用函数的单调性即可得到结论． 

【解答】

解：函数在R上为增函数，

则，解得，

故答案为

17.【答案】解：，，

；

，

，且，

，

实数a的取值范围是 

【解析】本题考查了含参数的集合关系的问题，交集运算，考查了计算能力，属于基础题．

可以求出集合，，然后进行交集的运算即可；

根据可得出，从而可得出a的范围．

18.【答案】解：时，p：；   q：，解得

为假，为真，与q必然一真一假．

或，

解得，或即为实数x的取值范围．

是p的充分不必要条件，则等号不同时成立，，解得 

【解析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

时，p：；   q：，解得根据为假，为真，可得p与q必然一真一假．

是p的充分不必要条件，则等号不同时成立，，解得a范围．

19.【答案】解：证明：，

任取，，且

，

又由，则，，，

故，即，

在是增函数；

由知，在单调递增，

则，，

故在上的值域是 

【解析】本题考查函数的单调性的证明以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．

根据题意，任取，，且，用作差法证明即可，

根据题意，由的结论可得在上单调性，据此分析可得答案．

20.【答案】解：时，，

 则在上单调递减，在上单调递增，

，，

在上的值域为；

选择条件①：

易知对称轴，

若，即时，则在上单调递增，

，解得，

又，

；

若，即时，

则在上单调递减，在上单调递增，

，解得，

又，

所以；

若，即时，则在上单调递减，

，解得，

又，

综上所述：，

故实数a的取值范围为；

选择条件②：，，

，即，

或，即或，

，

故实数a的取值范围为 

【解析】本题考查了二次函数性质运用，二次函数值域和最值问题，考查了分类讨论思想，属于中档题.

先将化成顶点式，结合二次函数在上的单调性即可求出在上的值域；

选择条件①，对a进行分类讨论，结合二次函数单调性，求出函数在的最小值，根据，即可求出a的取值范围，再综合即可得到答案；

选择条件②，可得或，代入函数解析式，求出a的取值范围，然后综合即可.

21.【答案】解：设该企业计划在A国投入的总成本为亿元，

则当时，，

依题意：，

即，解得，

结合条件，

依题意，该企业计划在A国投入的总成本为亿元，

当时，，

当时，，

则平均处理成本为，

①当时，，

当且仅当，即时取等号，

即时，取得最小值为

②当时，，

当，即时，取得最小值为，

当时，的最小值为，

答：该工艺处理量x的取值范围是

该企业处理量为万吨时，才能使每万吨的平均处理成本最低，平均处理成本最低为亿元. 

【解析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查二次函数的性质，属于中档题．

当时，，依题意：，即可求出该工艺处理量x的取值范围；

分时与时分别求最值，即可得出结论．

22.【答案】解：取，则，

，

取，则，

对任意恒成立，且函数定义域关于原点对称.

为奇函数；

任取，且，则，

，

，

又为奇函数，

， 

在上是减函数．

在区间上的最大值为，

而

，

，

在上的最大值为6；

为奇函数，

，

即，

进一步得，

而在上是减函数，

，

，

当时，， 

当时，且， 

当时， ，

当时， ，

当时，

【解析】本题考查抽象函数的性质、赋值法、函数的奇偶性、不等式求解及函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.

先求，再取，则对任意恒成立，故可得函数为奇函数；

先判断函数在上是减函数，再求，从而可求函数的最大值；

利用函数为奇函数，可整理得，利用在上是减函数，可得，故问题转化为解不等式．