初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题精练

人教版数学八年级册 13.4最短路径问题

一．选择题（共8小题）

1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（　　）

A．B．C．D．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

3．如图，等边△ABC，AB＝3，CD＝AC，P为BC边上一点，则△APD周长的最小值为（　　）

A．2+ B． C．3 D．2

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

5．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（　　）

A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm

7．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（　　）

A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm

8．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的一动点，点P为BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为（　　）

A．3 B． C． D．

二．填空题（共6小题）

9．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 　   　．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，点P是直线EF上一动点，连接PA，PB，当|PA﹣PB|取最大值时，AP的长为 　   　．

11．如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为 　   　．

12．函数的最小值是　   　．

13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是48，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 　   　．

14．如图，∠BOC＝45°，点A在∠BOC的内部，OA＝1，点P、Q分别是边OC、OB上的动点，则△APQ周长的最小值为　   　．

三．解答题（共6小题）

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．

（1）补全图形；

（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．

16．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）．

请回答下列问题：

（1）△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1，则A1点坐标为 　   　．

（2）△ABC的面积＝　   　，点C到AB的距离为 　   　．

（3）P为x轴上一点，PA+PB最小值＝　   　．

17．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？

18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．

（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是　   　度．

（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．

①求BC的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是　   　；

（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；

（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．

①求BC的长；

②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．

20．如图，直线l∥m，在直线l，m上分别取点M，N，使MN⊥线l，连接AM，MN，BN，当AM+MN+BN最小时，求点M，N的位置．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，

∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，

由对称性可知AP＝A'P，

∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，

故选：B．

2．【解答】解：连接AM，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴AM＝CM，

∴△CDM周长＝CM+DM+CD＝AM+MD+CD≥AD+CD，

∴△CDM周长的最小值为AD+CD的长，

∵D是BC的中点，AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∵BC＝6，△ABC的面积是24，

∴AD＝8，

∵BC＝6，D是BC的中点，

∴CD＝3，

∴AD+CD＝8+3＝11，

∴△CDM周长的最小值为11，

故选：D．

3．【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，作A′H⊥BC于H，连接PA′，连接A′D交BC于P′．

∵CD∥A′B，

∴＝＝＝，

∴BP′＝，

在Rt△A′BH中，BH＝，A′H＝，

∴HP′＝，P′A′＝＝，

∴DP′＝，

∴DA′＝，

∵△APD周长＝PA+PD+AD＝PA+PD+2，

∵PA+PD＝PA′+PD≥DA′，

∴PA+PD的最小值为，

∴△PAD的周长的最小值为2+，

故选：A．

4．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，

∴AD＝12，

∵EF垂直平分AB，

∴点A，B关于直线EF对称，

∴EF与AD的交点即为P的，此时PA＝PB，PB+PD＝PA+PD＝AD，AD的长度＝PB+PD的最小值，

即PB+PD的最小值为12，

故选：C．

5．【解答】解：∵，

∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，

∴l∥BC，

作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：

则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，

作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，

∵AD⊥BC，AD＝BC，

∴BB'＝BC，BB'⊥BC，

∴△BB'C是等腰直角三角形，

∴∠B'＝45°，

∵PB＝PB'，

∴∠PBB'＝∠B'＝45°，

∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；

故选：B．

6．【解答】解：连接CE交AD于点P，

∵AB＝AC，AD是BC的中线，

∴AD⊥BC，

∴BP＝CP，

∴BP+EP＝CP+EP≥CE，

∴BP+EP的最小值为CE的长，

∵CE＝4cm，

∴BP+EP的最小值为4cm，

故选：B．

7．【解答】解：如图，连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，

解得AD＝6cm，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．

故选：C．

8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，

∴BD⊥AC，EC＝BC＝3，

连接AE，交BD于P，

∴PA＝PC，

∴PE+PC＝PE+PA＝AE，

线段AE的长即为PE+PC最小值，

∵点E是边BC的中点，

∴AE⊥BC，

在Rt△ACE中，

AE＝＝＝3，

∴PE+PC的最小值是3．

故选：C．

二．填空题（共6小题）

9．【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，

此时△AMN的周长最小，

∵BA＝BA′，MB⊥AB，

∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，

∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，

∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，

∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），

∵∠BAD＝125°，

∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，

∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．

∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，

故答案为：70°

10．【解答】解：如图，连接PC，

∵EF垂直平分线段AC，

∴CF＝AC＝5，AP＝CP，

∴|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|，

∵PC﹣PB≤BC，当点P在直线BC上时，|PC﹣PB|最大，此时，|PA﹣PB|最大，

延长CB交EF于P'，此时，|P'C﹣P'B|最大，

过点A作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC＝10，BC＝8，

∴CH＝BC＝4，

在Rt△AHC中，根据勾股定理得，AH＝＝2，

在Rt△AHP'中，P'H＝P'C﹣CH＝P'A﹣4，

根据勾股定理得，P'A2＝AH2+P'H2，

∴P'A2＝84+（P'A﹣4）2，

∴P'A＝，

即PA＝，

故答案为：．

11．【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，

∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，

∴B点与C点关于AD对称，

∴BP＝CP，

∴EP+CP＝BP+CP≥BE，

∴EP+CP的最小值为BE的长，

∵E为AC边的中点，

∴BE⊥AC，

∵AD＝6，

∴BE＝6，

故答案为：6．

12．【解答】解：如图，作线段AB＝4，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC＝1，BD＝2，

对于AB上的任意一点O，令OA＝x，则

OC＝，OD＝，

设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O．此时，OC+OD＝OE+OD＝DE，

作EF∥AB与DB的延长线交于F，

在Rt△DEF中，易知EF＝AB＝4，DF＝3，

所以DE＝5，

因此，函数的最小值是5．

故答案为：5．

13．【解答】解：连接AD，AD与EF的交点即为M，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴C点与A点关于直线EF对称，

∴AM＝CM，

∴CM+MD＝AD，此时△CDM周长最小，

∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵BC长为8，面积是48，

∴AD＝12，

∴△CDM周长＝AD+CD＝12+4＝16，

故答案为16．

14．【解答】解：作A点关于OC的对称点A'，作A点关于OB的对称点A''，连结A'A''交OC、OB于点P、Q，连结A'O、OA''，

由对称可知，AP＝A'P，AQ＝A''Q，

∴△APQ的周长＝AP+AQ+PQ＝A'P+PQ+QA''＝A'A''，

∴△APQ周长的最小值为A'A''的长，

∵∠BOC＝45°，

∴∠A'OA''＝90°，

∵由对称性可得AO＝OA'＝OA''，

∵OA＝1，

∴A'O＝A''O＝1，

∴△OA'A''是等腰直角三角形，

∴A'A''＝，

∴△APQ周长的最小值为，

故答案为．

三．解答题（共6小题）

15．【解答】解：（1）补全图形如下：

（2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小．

∵DE＝AD，AD⊥BC，

∴BC为AE的垂直平分线

∴CA＝CE＝2，AP＝EP，

∴AP+FP＝EP+PF，

∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，

∴∠BAD＝∠CAD＝60°，

∴△ACE为等边三角形，

∵点F是AC的中点，

∴EF⊥AC，AF＝CF＝1，

在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，CF＝1，EC＝2，

∴EF＝．

∴AP+FP的最小值为．

16．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，

点A1的坐标为（1，﹣4）；

故答案为：（1，﹣4）．

（2）S△ABC＝3×3﹣3×2﹣﹣＝；

设C到AB的距离为h，

∵AB＝＝，

∴S△ABC＝＝，即×h＝，

∴h＝，

∴点C到AB的距离为；

故答案为：，；

（3）A1B交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为A1B，

∵A1（1，﹣4），B（4，2），

∴A1B＝＝3，

∴PA+PB最小值为3，

故答案为：3．

17．【解答】解：过E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC＝4，AE＝2，

∴EC＝2＝AE，

∴AM＝BM＝2，

∴AM＝AE，

∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，

∴AD⊥BC，

∵EM∥BC，

∴AD⊥EM，

∵AM＝AE，

∴E和M关于AD对称，

连接CM交AD于F，连接EF，

则此时EF+CF的值最小，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，AC＝BC，

∵AM＝BM，

∴∠ECF＝∠ACB＝30°．

18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C

∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，

∴∠A＝50°，

MN是AB的垂直平分线，

∴AM＝BM，

∴∠A＝∠ABM＝50°，

∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，

∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，

∴∠NMA＝∠AMB＝40°．

故答案为40度．

（2）①∵AB＝AC＝10，

△MBC的周长是18cm，

即BM+MC+BC＝18

∵AM＝BM，

∴AM+MC+BC＝18，

∴AC+BC＝18，

∴BC＝8．

答：BC的长度为8cm．

②当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，

答：△PBC的周长的最小值为18cm．

19．【解答】解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，

故答案为：50°；

（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．

理由：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠A＝180°﹣2∠B，

又∵MN垂直平分AB，

∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°．

（3）如图：

①∵MN垂直平分AB．

∴MB＝MA，

又∵△MBC的周长是14cm，

∴AC+BC＝14cm，

∴BC＝6cm．

②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

20．【解答】解：过A作AA1⊥l，且AA1＝MN，连A1B，交m于N，

过N作MN⊥m交l1于M，连AM，则AM+MN+BN最小