初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题同步练习题

这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题同步练习题，共14页。
人教新版八年级上学期 13.4 最短路径问题一．选择题（共7小题）1．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）A．B． C．D．2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，当△CDM周长取得最小值为13时，△ABC的面积为（　　）A．30 B．39 C．60 D．783．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（　　）A．A点处 B．D点处 C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处4．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（　　）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）A． B． C．12 D．156．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）A．2 B．4 C．5 D．67．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD＝5，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为（　　）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共6小题）8．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 　   　．9．AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　   　．10．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为 　   　．11．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　   　．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝16，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC上，且FD⊥AB．若点P为线段DF上一动点，连接BP，EP，则△BPE周长的最小值是　   　．13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　   　．三．解答题（共6小题）14．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小，画出图形并证明．   15．如图，B，C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．（1）直接写出点B的坐标为 　   　；（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）   16．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，E为AB的中点，点M是AD上一个动点，请你补全图形，并求出当MB+ME的值最小时∠EMB的度数． 17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠ABC＝68°，求∠AED的度数；（2）若点P为直线DE上一点，AB＝8，BC＝6，求△PBC周长的最小值．18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 　   　度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．     19．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．
参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小．故选：D．2．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝13，∵BC＝6，∴AD＝10，∴△ABC的面积为：BC•AD＝×6×10＝30，故选：A．3．【解答】解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，当B、E、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，故选：D．4．【解答】解：连接AM，∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，∴AM＝CM，∴CM+DM＝DM+AM，即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，CD＝BC＝2cm，∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，∴AD＝8cm，∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，故选：D．5．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝15．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC＝9．∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，∴EQ∥BC，∴＝，即＝∴EQ＝．故选：B．6．【解答】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，∴CE+EF的最小值C'F的长，∴CC'⊥BD，∵BD平分∠ABC，∴∠C'BG＝∠GBC，在△C'BG和△CBG中，，∴△C'BG≌△CBG（ASA），∴BC＝BC'，∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝30°，BC'＝8，在Rt△BFC'中，C'F＝BC'•sin30°＝8×＝4，∴CE+EF的最小值为4，故选：B．7．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边的中线，∴AD垂直平分BC，∴点D与点B关于AD对称，连接CE交AD于P，则此时，BP+EP的值最小，且等于CE的长，∵点E是AB的中点，∴CE垂直平分AB，∴CE＝AD＝5，∴BP+EP的最小值为5，故选：B．二．填空题（共6小题）8．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N∴MN＝ME，∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，∴×4•CE＝10，∴CE＝．即CM+MN的最小值为5．故答案为：59．【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴BM+DM最小值为8，故答案为：8．10．【解答】解：如图，连接PE，∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴AC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠DCE，在△ACP和△ECP中，∴△ACP≌△ECP（SAS），∴AP＝EP，∴AP+BP＝AP+EP，当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，所以AP+BP的最小值为：2×4＝8．故答案为：8．11．【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC＝10，S△ABC＝25，∴×10•BE＝25，解得BE＝5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB＝AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N＝BE＝5，即BM+MN的最小值是5．故答案为：5．12．【解答】解：如图所示，连接AE交DF于点P，∵AB＝AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵S△ABC＝16，BC＝4，∴AE＝8，BE＝2，∵D是AB的中点，FD⊥AB，∴DF是AB的垂直平分线，∴PB＝PA，∴△BPE周长的最小值是AE+BE＝8+2＝10．故答案为10．13．【解答】解：作M点关于BC的对称点M'，作M点关于AC的对称点M''，连接M'M''，分别交AC于点N，交BC于点P，由对称可得，MN＝M''N，MP＝M'P，∴PM+MN+PN＝PM'+NP+M''N≥M'M''，∴M'M''最小时，PM+MN+PN的值最小，当M'M''⊥BC时，M'M''的值最小，∴M点与A点重合时，M'M''⊥BC，∵AB＝8，AC＝6，BC＝10，∴BC边上的高h＝，∴M'M''＝2h＝，∴PM+PN+MN的最小值是，故答案为：．三．解答题（共6小题）14．【解答】解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，则BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P＝AB'，∴PA+PB的值最小等于线段AB'的长，15．【解答】解：（1）∵B，C两点关于y轴对称，C（﹣a，﹣a﹣b），∴B（a，﹣a﹣b），故答案为：（a，﹣a﹣b）；（2）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，∴BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P＝AB，此时AP+PB的值最小．16．【解答】解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴点B，C关于AD对称，∴BM＝CM，∴∠MBC＝∠MCB，连接CE交AD于M，则此时，MB+ME的值最小，∵E为AB的中点，∴CE是边AB的中线，∴CE⊥AB，∠BCE＝ACB＝30°，∴∠MBC＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM＝30°，∴∠BME＝60°，故∠EMB的度数为60°．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝68°，∴∠C＝∠ABC＝68°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣68°﹣68°＝44°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠A＝90°﹣44°＝46°；（2）当点P与点E重合时，△PBC的周长最小，理由：∵PB+PC＝PA+PC≥AC，∴当点P与点E重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝AB+BC＝8+6＝14．18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案为：50；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，∵AB＝8，△MBC的周长是14，∴BC＝14﹣8＝6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．19．【解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵MD∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵MD∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°