【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第27练 导数的运算【讲义+习题】

第27练　导数的运算

一、选择题

1．若f(x)＝2xf′(1)＋x3，则f′(2)等于(　　)

A．－3  B．0  C．－6  D．6

答案　D

解析　∵f′(x)＝2f′(1)＋3x2，

∴f′(1)＝2f′(1)＋3，

∴f′(1)＝－3，

∴f′(x)＝－6＋3x2，∴f′(2)＝6.

2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)

A．y′＝2xln(2x＋5)

B．y′＝

C．y′＝ln(2x＋5)＋

D．y′＝ln(2x＋5)＋

答案　D

解析　因为y＝xln(2x＋5)，所以y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.

3．已知f(x)＝x2ln 2x，若f′(x0)＝x0，则x0等于(　　)

A.  B.e  C．ln 2  D．1

答案　A

解析　因为f(x)＝x2ln 2x，

所以f′(x)＝2xln 2x＋x，

又f′(x0)＝x0，所以2x0ln 2x0＝0，因为x0>0，所以ln 2x0＝0，所以x0＝.

4．已知曲线y＝ax和y＝logax与直线y＝x相切于同一点P，则大于1的a的值为(　　)

(下列e＝2.718 28…是自然对数的底数)

A．e2  B．   C．ee  D．

答案　D

解析　依题意，直线y＝x是两条曲线的公切线，设切点为P(x0，x0)，

因为(ax)′＝axln a，(logax)′＝，且公切线的斜率为1，

所以

由②得＝x0，即x0＝，

由换底公式得x0＝logae，

将此式代入①得＝1，

即eln a＝1，解得a＝.

5．(多选)已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　)

A．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于－1

B．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0

C．f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方

D．f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方

答案　BC

解析　f′(1)＝－3＜0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0，

又f(1)＝3＞0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．

二、填空题

6．函数y＝的导数y′＝________.

答案　－

解析　y＝＝(3x－1)－2，

设y＝μ－2，μ＝3x－1，

∴y′x＝y′μμ′x＝(μ－2)′(3x－1)′＝－2μ－3·3

＝－6(3x－1)－3＝－.

7．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)＋2xg′(x)＝1，则x＝________.

答案　－

解析　由函数的导数公式可知f′(x)＝2x，

g′(x)＝，

由f′(x)＋2xg′(x)＝1得2x＋2x·＝1，即2x＝－1，解得x＝－.

8．设曲线y＝ax3＋x在(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则实数a的值为________．

答案　

解析　根据题意，曲线y＝ax3＋x，其导函数y′＝3ax2＋1，则当x＝1时，y′＝3a＋1，

若曲线y＝ax3＋x在(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，

则有3a＋1＝2，解得a＝.

9．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax＋bx2，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－2y＋2ln 2－3＝0，则a＋b＝________.

答案　2

解析　由题意知，f′(x)＝－a＋2bx.

又∵直线3x－2y＋2ln 2－3＝0的斜率为，且过点(1，ln 2)，

∴即解得

∴a＋b＝2.

三、解答题

10．已知函数y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，求该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角．

解　因为y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，

所以y′＝e2x＋4×(2x＋4)′－×(2x＋5)′

＝e2x＋4×2－×2＝e2x＋4－，

所以当x＝－2时，

y′＝1－2＝－1.

设该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为α，则tan α＝－1.又α∈[0，π)，所以α＝，

所以该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为.