【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第28练 导数与函数的单调性【讲义+习题】

第28练　导数与函数的单调性一、选择题1．函数f(x)＝(a>0)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)答案　B解析　f′(x)＝a·(a>0)，令f′(x)>0，解得－1<x<1，故f(x)在(－1,1)上单调递增．2．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)A．(－1,1)   B．(－1,1]C．(0,1)   D．(0，＋∞)答案　C解析　函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝x－＝，令f′(x)＝<0，∵x>0，∴0<x<1，因此函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(0,1)．3．已知函数f(x)＝在(－1,1)上为减函数，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1]   B．(－∞，1)C．(－∞，－1]   D．(－∞，－1)答案　B解析　由题意，得f′(x)＝，又f′(x)＝≤0在(－1,1)上恒成立，所以a≤1.而当a＝1时，f′(x)恒为0，此时f(x)＝1(x≠－1)，不具有单调性，所以a<1，即实数a的取值范围为(－∞，1)．4．已知函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象可能为(　　)答案　D解析　由函数f(x)的图象，知当x<0时，f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时，f(x)先单调递增，后单调递减，最后单调递增，所以f′(x)先正后负，最后为正．5．(多选)已知函数f(x)＝x3＋，则(　　)A．f(x)在上是减函数B．f(x)在，上是减函数C．f(x)的单调递增区间为和D．f(x)在和上是增函数答案　BCD解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．f′(x)＝′＝16x2－＝＝＝，令f′(x)>0，得x<－或x>，所以f(x)的单调递增区间为和，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．令f′(x)<0，得－<x<0或0<x<.所以f(x)在和上是减函数．二、填空题6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＝________，c＝________.答案　－3　－9解析　由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d求导得f′(x)＝3x2＋2bx＋c，因为函数f(x)的单调递减区间为(－1,3)，则－1,3是方程f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两个根，于是得－＝－1＋3，且＝－1×3，解得b＝－3，c＝－9，此时，f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，由f′(x)<0得－1<x<3，即函数f(x)的单调递减区间是(－1,3)，符合题意，所以b＝－3，c＝－9.7．函数f(x)＝的单调递增区间为________．答案　(－1,1)解析　函数f(x)＝的定义域为R，f′(x)＝＝，令f′(x)>0，可得x2－1<0，解得－1<x<1.因此，函数f(x)＝的单调递增区间为(－1,1)．8．若函数f(x)＝x3－2x2＋ax＋1在区间[－1,4]上具有单调性，则a的取值范围是____________________．答案　(－∞，－16]∪[2，＋∞)解析　f′(x)＝2x2－4x＋a，函数f(x)在区间[－1,4]上具有单调性等价于f′(x)＝2x2－4x＋a≤0或f′(x)＝2x2－4x＋a≥0在[－1,4]上恒成立，即a≤(－2x2＋4x)min或a≥(－2x2＋4x)max，即a≤－16或a≥2.9．若函数f(x)＝－2x＋sin x，则满足不等式f(2m2－m＋π－1)≤－2π的m的取值范围为__________________．答案　∪[1，＋∞)解析　函数的定义域为R，由f′(x)＝－2＋cos x<0可知f(x)为减函数，且f(2m2－m＋π－1)≤－2π＝f(π)，所以2m2－m＋π－1≥π，即2m2－m－1≥0，解得m≤－或m≥1.三、解答题10．求函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调区间．解　函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为，∵y＝ln(2x＋3)＋x2，∴y′＝＋2x＝，当y′＞0，即－＜x＜－1或x＞－时，函数y＝ln(2x＋3)＋x2在区间，上单调递增，当y′＜0，即－1＜x＜－时，函数y＝ln(2x＋3)＋x2在区间上单调递减，故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，，单调递减区间为.