【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一1.2.1 直线的点斜式方程【讲义+习题】

1.2.1　直线的点斜式方程学习目标　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．导语斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索的位置确定吗？一、直线的点斜式方程问题1　给定一个点P1(x1，y1)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎样将直线上不同于P1的所有点的坐标P(x，y)满足的关系表达出来？提示　k＝eq \f(y－y1,x－x1).知识梳理我们把方程y－y1＝k(x－x1)称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.例1　写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．解　(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.所以直线的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程. 反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外．跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角的2倍；(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解　(1)∵直线y＝eq \f(\r(3),3)x的斜率为eq \f(\r(3),3)，∴直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为eq \r(3).∴所求直线方程为y＋3＝eq \r(3)(x－2)，即eq \r(3)x－y－2eq \r(3)－3＝0.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率kPQ＝eq \f(－4－3,5－－2)＝eq \f(－7,7)＝－1.∵直线过点P(－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.二、直线的斜截式方程问题2　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．提示　y＝kx＋b.知识梳理1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．2．把方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)．解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3.(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，由斜截式可得方程为y＝eq \r(3)x＋5.(3)斜率为k＝eq \f(3＋2,－2＋1)＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式为y＝－5x－7.反思感悟　求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．跟踪训练2　(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．解　(1)易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2.(2)由于直线的斜率k＝－eq \f(4,3)，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)，化成斜截式为y＝－eq \f(4,3)x＋4.(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)．三、点斜式直线方程的应用例3　(1)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)A．(1,3) B．(－1，－3)C．(3,1) D．(－3，－1)答案　C解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．(2)直线y＝eq \f(1,2)x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析　令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k.所以eq \f(1,2)|k|·|－2k|≥1，即k2≥1.所以k≤－1或k≥1.反思感悟　(1)注意对参数的分类讨论，在同一坐标系中作两条曲线，确定一条，判断另一条．(2)在求面积时，要将截距转化为距离．跟踪训练3　(1)若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　)A．a>1 B．01答案　A解析　y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．所以当01时，有两个公共点，如图②.(2) 已知直线l的斜率为eq \f(1,6)，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程．解　设直线l的斜截式方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得eq \f(1,2)|b|·|－6b|＝3，即b2＝1，所以b＝±1.从而所求直线l的方程为y＝eq \f(1,6)x－1或y＝eq \f(1,6)x＋1.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．方程y＝k(x－2)表示(　　)A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案　C解析　易验证直线过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．2．已知直线l的方程为y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　)A．9 B．－9 C.eq \f(27,4) D．－eq \f(27,4)答案　B解析　由y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，得y＝eq \f(9,4)x－9，∴l在y轴上的截距为－9.3．已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　)A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x＋2C．y＝－eq \r(3)x－2 D．y＝eq \r(3)x－2答案　D解析　∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝eq \r(3)，∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x－2.4．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案　B解析　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　)A．x＝3 B．x＝－2C．y＝3 D．y＝－2答案　D解析　∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y＝－2.2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　)A．y－1＝x B．y＋1＝xC．y－1＝－x D．y＋1＝－x答案　B解析　∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，又∵直线l过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x.3．直线y－2＝－eq \r(3)(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)A．60°，2 B．120°，2－eq \r(3)C．60°，2－eq \r(3) D．120°，2答案　B解析　该直线的斜率为－eq \r(3)，当x＝0时，y＝2－eq \r(3)，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－eq \r(3).4．直线y＝ax＋eq \f(1,a)(a≠0)的图形可能是(　　)答案　B解析　直线y＝ax＋eq \f(1,a)(a≠0)的斜率是a，在y轴上的截距是eq \f(1,a).当a>0时，直线在y轴上的截距eq \f(1,a)>0，此时直线y＝ax＋eq \f(1,a)过第一、二、三象限；当a<0时，直线在y轴上的截距eq \f(1,a)<0，此时直线y＝ax＋eq \f(1,a)过第二、三、四象限，只有选项B符合．5．(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是(　　)A．－2 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．2答案　CD解析　令x＝0，得y＝eq \f(4m＋1,2m2－m＋3).由已知得eq \f(4m＋1,2m2－m＋3)＝1，则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0，解得m＝2或m＝eq \f(1,2)，经检验，符合题意．6．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为(　　)A．[0，＋∞) B．RC.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案　C解析　直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则3－2k≤0，∴k≥eq \f(3,2).7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________．答案　y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6解析　因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为eq \r(3)或－eq \r(3)，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6.8．已知两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，则直线AB的斜率k的值是______，直线AB在y轴的截距是______．答案　3　－eq \f(5,2)解析　根据题意，直线AB上的两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，则直线AB的斜率k＝eq \f(\f(1,2)－－1,1－\f(1,2))＝3，则直线AB的方程为y－(－1)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，变形可得y＝3x－eq \f(5,2)，则直线AB在y轴的截距是－eq \f(5,2).9．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.令y＝0，得x＝eq \f(2k－2,k)，由三角形的面积为2，得eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2k－2,k)))×2＝2.解得k＝eq \f(1,2).可得直线l的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．10．已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝45°，∠B＝45°.求：(1)直线AB的方程；(2)直线AC和BC的方程．解　(1)因为A(1,1)，B(5,1)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为y＝1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角为∠A＝45°，所以kAC＝tan 45°＝1.又直线AC过点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.同理可知，直线BC的倾斜角为180°－∠B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1.又直线BC过点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1×(x－5)，即y＝－x＋6.11．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　)A．kb<0 B．kb≤0C．kb>0 D．kb≥0答案　B解析　当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0.当k＝0，b>0时，l也不过第三象限，∴kb≤0.12．—次函数y＝－eq \f(m,n)x＋eq \f(1,n)的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0答案　B解析　∵直线y＝－eq \f(m,n)x＋eq \f(1,n)经过第一、三、四象限，∴－eq \f(m,n)>0，eq \f(1,n)<0，∴m>0，n<0，此为充要条件．因此，其必要不充分条件为mn<0.13．(多选)下列结论正确的是(　　)A．方程k＝eq \f(y－2,x＋1)与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程答案　BC解析　对于A，方程k＝eq \f(y－2,x＋1)表示的直线不含点(－1,2)，所以A错误；B，C显然正确；对于D，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D错误．14．将直线y＝x＋eq \r(3)－1绕其上面一点(1，eq \r(3))沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是_________________.答案　y－eq \r(3)＝eq \r(3)(x－1)解析　由y＝x＋eq \r(3)－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为eq \r(3).又∵直线过点(1，eq \r(3))，∴由直线的点斜式方程可得y－eq \r(3)＝eq \r(3)(x－1)．15．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的倾斜角为直线y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)的倾斜角的2倍，则直线l的点斜式方程为____________________．答案　y－1＝eq \f(8,15)(x－2)解析　由y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)，得斜率为eq \f(1,4)，设直线y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)的倾斜角为α，直线l的倾斜角为β，斜率为k，则tan α＝eq \f(1,4)，k＝tan β＝tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(8,15).又直线l过点P(2,1)，所以直线l的点斜式方程为y－1＝eq \f(8,15)(x－2)．16．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点；(2)当－3